In diesem Abschnitt fassen wir die wichtigsten Zusammenhänge und Ergebnisse zwischen den verwandten Begriffen der error: internal links not implemented, yet! und der error: internal links not implemented, yet! zusammen.

Wir hatten bereits bewiesen, dass error: internal links not implemented, yet! . Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig. Beispiele hierfür sind die Funktionen f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=|x| oder f:\mathbb{R} _{0}^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt x} jeweils im Nullpunkt.

Eine stärkere Variante der Stetigkeit ist die error: internal links not implemented, yet! . Diese stellt, im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ Stetigkeit, keine lokale , sondern eine globale Eigenschaft dar. Daher ist error: internal links not implemented, yet! . Die Umkehrung gilt hingegen nicht, wie das Beispiel f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=x^{2} zeigt. Jedoch ist error: internal links not implemented, yet! . Dieses Resultat ist in der Literatur auch als Satz von Heine-Cantor bekannt.

Eine weitere „Verschärfung“ der gleichmäßigen Stetigkeit stellt die error: internal links not implemented, yet! dar. Sie besagt anschaulich, dass das \delta in der error: internal links not implemented, yet! linear von \epsilon abhängt. Damit ist jede lipschitz-stetige Funktion auch gleichmäßig stetig. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. Ein Beispiel ist f:\mathbb{R} _{0}^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt x}, die gleichmäßig, jedoch nicht lipschitz-stetig ist.

Die Lipschitz-Stetigkeit ist, genau wie die gleichmäßige Stetigkeit, eine globale Eigenschaft. Von dieser gibt es eine schwächere, lokale Variante, die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Lokale Lipschitz-Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit verhalten sich genau wie Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit. D.h. jede lipschitz-stetige Funktion ist auch lokal lipschitz-stetig, jedoch nicht umgekehrt. Ein Beispiel ist erneut die Quadratwurzelfunktion f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt x}. Wichtig ist, dass die Null hier nicht im Definitionsbereich der Wurzelfunktion enthalten ist. Andererseits folgt aus lokaler Lipschitz-Stetigkeit die „gewöhnliche“ Stetigkeit, jedoch nicht umgekehrt. Beispielsweise ist die Funktion f:[-1,1]\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt {|x|}} im Nullpunkt stetig, jedoch nicht lokal lipschitz-stetig.

Eine Beziehung zwischen Differenzierbarkeit und Lipschitz-Stetigkeit stellt der error: internal links not implemented, yet! dar, welcher aus dem error: internal links not implemented, yet! folgt. Der Schrankensatz besagt, dass jede differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung lipschitz-stetig ist. Eine hinreichende Bedingung für diese Voraussetzung ist, nach dem error: internal links not implemented, yet! , dass die Funktion auf einem Kompaktum definiert und stetig differenzierbar ist. Zuletzt folgt umgekehrt, dass jede lipschitz-stetige Funktion fast überall (d.h. bis auf eine Nullmenge) differenzierbar ist. Diese Aussage ist als Satz von Rademacher bekannt.