Verständnisfragen zu Folgen

Übung:
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
  1. Bei einer Folge wird jedem Index n eindeutig ein Folgenglied a_{n} zugeordnet.
  2. Bei einer Folge kann jedem Folgenglied a_{n} eindeutig ein Index n zugeordnet werden.
  3. Es gibt keine Folge, die weder nach unten noch nach oben beschränkt ist.
  4. Es gibt keine Folge, die gleichzeitig monoton steigt und fällt.
  5. Es gibt keine Folge, die gleichzeitig streng monoton steigt und fällt.
  6. Es gibt keine Folge, die streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
  1. Wahr.
  2. Falsch. Wenn ein Folgenglied mehr als einmal in der Folge vorkommt (z. B. bei konstanten Folgen), kann diesem Folgenglied nicht eindeutig ein Index zugeordnet werden.
  3. Falsch. Die Folge \left(a_{n}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}=1,\,-2,\,3,\,-4,\,5,\,-6,\,\ldots ist weder nach unten noch nach oben beschränkt.
  4. Falsch. Jede konstante Folge steigt und fällt monoton. Bei monotonem Wachstum darf eine Folge bzw. eine Funktion auch konstant sein. Erst der Begriff „strenge Monotonie“ impliziert, dass nachfolgende Werte nicht gleich sein dürfen.
  5. Wahr.
  6. Falsch. Die Folge (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit a_{n}:=1-{\tfrac {1}{n}} für alle n\in \mathbb{N} ist nach oben beschränkt, denn für alle n\in \mathbb{N} gilt a_{n}<1. Weiter ist sie monoton wachsend. Für alle n\in \mathbb{N} gilt {\tfrac {1}{n+1}}<{\tfrac {1}{n}} und somit a_{n}=1-{\tfrac {1}{n}}<1-{\tfrac {1}{n+1}}=a_{{n+1}}.

Aufgaben zur Bildung von Folgen

Übung:
Finde eine Folge (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, für die folgende Bedingungen gelten:
  1. a_{n}<a_{{n+2}} für alle n\in \mathbb{N}
  2. a_{n}>a_{{n+1}} für alle ungeraden n
Schreibe anschließend eine explizite und eine rekursive Bildungsvorschrift für deine Folge auf!
Eine mögliche Folge ist
(a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}=1,0,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5,7,6,\ldots
Eine explizite Bildungsvorschrift für diese Folge ist
a_{n}={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\{\frac {n}{2}}-1&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\\\end{cases}}
Eine rekursive Bildungsvorschrift für diese Folge ist gegeben durch a_{1}:=1,a_{2}:=0 und über folgende Rekursionsformel für alle n\geq 2:
a_{n}:=a_{{n-2}}+1