Ableitung der Umkehrfunktion error: TODO

Übung: Ableitung der Umkehrfunktion
Betrachte die Funktion
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=e^{x}+x
Begründe, dass die folgenden Ableitungen und Grenzwerte existieren, und berechne sie:
  1. f'(0) und (f^{{-1}})'(1)
  2. \lim _{{y\to -\infty }}f^{{-1}}(y) und \lim _{{y\to -\infty }}(f^{{-1}})'(y)
Teilaufgabe 1:
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von f'(0)
f ist auf \mathbb{R} differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen \exp und {\text{id}} mit der Ableitung
f'(x)=e^{x}+1
Damit ist f'(0)=e^{0}+1=2.
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von (f^{{-1}})'(1)
f ist auf \mathbb{R} differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen \exp und {\text{id}} mit der Ableitung
f'(x)=e^{x}+1
Weiter ist f'(x)>0, da e^{x}>0 für x\in \mathbb{R} . Also ist f nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist f:\mathbb{R} \to f(\mathbb{R} ) bijektiv. Weiter ist f(0)=1, also 1\in f(\mathbb{R} ), und es gilt f'(0)=2\neq 0. Damit ist f^{{-1}} in 1 differenzierbar mit
(f^{{-1}})'(1)={\frac {1}{f'(0)}}={\frac 12}
Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: Berechnung von \lim _{{y\to -\infty }}f^{{-1}}(y)
Es gilt
\lim _{{x\to -\infty }}f(x)=\lim _{{x\to -\infty }}\underbrace {e^{x}}_{{\to 0}}+\underbrace {x}_{{\to -\infty }}=-\infty
Damit ist
\lim _{{y\to -\infty }}f^{{-1}}(y)=-\infty
Beweisschritt: Berechnung von \lim _{{y\to -\infty }}(f^{{-1}})'(y)
Es gilt \lim _{{x\to \infty }}f(x)=\infty . Nach dem Zwischenwertsatz ist daher f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} bijektiv. Für alle y\in \mathbb{R} ist somit
(f^{{-1}})'(y)={\frac {1}{f'(f^{{-1}}(y))}}={\frac {1}{\exp(f^{{-1}}(y))+1}}
Damit folgt
\lim _{{y\to -\infty }}(f^{{-1}})'(y)=\lim _{{y\to -\infty }}{\frac {1}{\exp(f^{{-1}}(y))+1}}={\frac {1}{\exp(\lim _{{y\to -\infty }}f^{{-1}}(y))+1}}={\frac 11}=1

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion error: TODO

Übung: Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion
Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{+},\ f(x)=a^{x}=\exp(x\ln a)
zur Basis a\in \mathbb{R} \setminus \{1\} bijektiv und differenzierbar auf \mathbb{R} ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion
f^{{-1}}=\log _{a}:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ \log _{a}(y)={\frac {\ln y}{\ln a}}
auf ganz \mathbb{R} ^{+} differenzierbar ist mit der Ableitung (\log _{a})'(y)={\frac {1}{y\ln a}}.
Beweisschritt: f ist bijektiv und differenzierbar
Fall 1:
a>1
f ist stetig auf \mathbb{R} als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen \ln a>0, \lim _{{x\to \infty }}\exp(x)=\infty und \lim _{{x\to -\infty }}\exp(x)=0:
\lim _{{x\to \infty }}a^{x}=\lim _{{x\to \infty }}\exp(x\ln a)=\infty
sowie
\lim _{{x\to -\infty }}a^{x}=\lim _{{x\to -\infty }}\exp(x\ln a)=0
Nach dem Zwischenwertsatz ist somit f(\mathbb{R} )=\mathbb{R} ^{+} und f daher surjektiv. Außerdem ist f differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und
f'(x)=\underbrace {\ln a}_{{>0}}\cdot \underbrace {\exp(x\ln a)}_{{>0}}>0
für alle x\in \mathbb{R} . Nach dem Monotoniekriterium ist f streng monoton steigend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von f gezeigt.
Fall 2:
0<a<1
f ist stetig auf \mathbb{R} als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen \ln a<0, \lim _{{x\to \infty }}\exp(x)=\infty und \lim _{{x\to -\infty }}\exp(x)=0:
\lim _{{x\to \infty }}a^{x}=\lim _{{x\to \infty }}\exp(x\ln a)=0
sowie
\lim _{{x\to -\infty }}a^{x}=\lim _{{x\to -\infty }}\exp(x\ln a)=\infty
Nach dem Zwischenwertsatz ist somit f(\mathbb{R} )=\mathbb{R} ^{+} und f daher surjektiv. Außerdem ist f differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und
f'(x)=\underbrace {\ln a}_{{<0}}\cdot \underbrace {\exp(x\ln a)}_{{>0}}<0
für alle x\in \mathbb{R} . Nach dem Monotoniekriterium ist f streng monoton fallend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von f gezeigt.
Beweisschritt: f^{{-1}} existiert und ist differenzierbar
f ist bijektiv auf \mathbb{R} und damit umkehrbar. Weiter gilt
y=\exp(x\ln a)\iff \ln y=x\ln a\iff x={\frac {\ln y}{\ln a}}
Also ist
f^{{-1}}:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,f^{{-1}}(y)=\log _{a}(y)={\frac {\ln y}{\ln a}}
Da außerdem f'(x)=\ln a\cdot \exp(x\ln a)\neq 0 für alle x=f^{{-1}}(y)\in \mathbb{R} ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion: f^{{-1}} auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar ist, mit
(f^{{-1}})'(y)={\frac {1}{f'(f^{{-1}}(y))}}={\frac {1}{f'({\tfrac {\ln y}{\ln a}})}}={\frac {1}{\ln a\cdot \exp({\tfrac {\ln y}{\ln a}}\ln a)}}={\frac {1}{\ln a\cdot \exp(\ln y)}}={\frac {1}{\ln a\cdot y}}
Übung: Ableitungen von \operatorname{arccot} und der Area-Funktionen
Zeige, dass die Funktionen
  • \operatorname{arccot} :\mathbb{R} \to (0,\pi )
  • {\text{arsinh}}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}
  • {\text{arcosh}}:(1,\infty )\to (0,\infty )
  • {\text{artanh}}:(-1,1)\to \mathbb{R}
differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.
Beweis
Differenzierbarkeit von \operatorname{arccot} :
Für die Cotangensfunktion \cot |_{{(0,\pi )}}=\left.{\tfrac {\cos }{\sin }}\right|_{{(0,\pi )}} gilt: \cot '=-1-\cot ^{2}<0. Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist \cot((0,\pi ))=\mathbb{R} . Also ist \cot :(0,\pi )\to \mathbb{R} bijektiv. Die Umkehrfunktion
\operatorname{arccot} :\mathbb{R} \to (0,\pi )
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt:
\operatorname{arccot} '({\tilde x})={\frac {1}{\cot '(\operatorname{arccot}({\tilde x}))}}={\frac {1}{-1-\cot ^{2}(\operatorname{arccot}({\tilde x}))}}={\frac {1}{-1-{\tilde x}^{2}}}=-{\frac {1}{1+{\tilde x}^{2}}}
Differenzierbarkeit von {\text{arsinh}}:
Die Sinus Hyperbolicusfunktion \sinh :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ist differenzierbar mit \sinh '=\cosh >0. Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist \sinh(\mathbb{R} )=\mathbb{R} . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
{\text{arsinh}}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt:
{\text{arsinh}}'({\tilde x})={\frac {1}{\sinh '({\text{arsinh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{\cosh({\text{arsinh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{{\sqrt {\sinh ^{2}({\text{arsinh}}({\tilde x}))+1}}}}={\frac {1}{{\sqrt {{\tilde x}^{2}+1}}}}
Differenzierbarkeit von {\text{arcosh}}:
Die Cosinus Hyperbolicusfunktion \cosh :(0,\infty )\to (1,\infty ) ist differenzierbar mit \cosh '=\sinh >0 auf (0,\infty ). Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist \cosh((0,\infty ))=(1,\infty ). Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
{\text{arcosh}}:(1,\infty )\to (0,\infty )
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für {\tilde x}\in (1,\infty ) gilt:
{\text{arcosh}}'({\tilde x})={\frac {1}{\cosh '({\text{arcosh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{\sinh({\text{arcosh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{{\sqrt {\sinh ^{2}({\text{arsinh}}({\tilde x}))-1}}}}={\frac {1}{{\sqrt {{\tilde x}^{2}-1}}}}
Differenzierbarkeit von {\text{artanh}}:
Für die Cotangensfunktion \tan :\mathbb{R} \to (-1,1) gilt: \tanh '=1-\tanh ^{2}>0. Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist \tanh(\mathbb{R} )=(-1,1). Also ist \tanh :\mathbb{R} \to (-1,1) bijektiv. Die Umkehrfunktion
{\text{artanh}}:(-1,1)\to \mathbb{R}
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für {\tilde x}\in (-1,1) gilt:
{\text{artanh}}'({\tilde x})={\frac {1}{\tanh '({\text{artanh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{1-\tanh ^{2}({\text{artanh}}({\tilde x}))}}={\frac {1}{1-{\tilde x}^{2}}}
Übung: Nicht differenzierbare Funktionen in null
Sei \epsilon >0. Zeige:
  1. Sind f,g:(-\epsilon ,\epsilon )\to \mathbb{R} mit f(0)=g(0)=0 und gelte f(x)g(x)=x für alle x\in (-\epsilon ,\epsilon ). Dann sind f und g im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
  2. Sind f,g:(-\epsilon ,\epsilon )\to \mathbb{R} , und sei f in null differenzierbar. Weiter gelte f(0)=f'(0)=0 und g(f(x))=x für alle x\in (-\epsilon ,\epsilon ). Dann ist g im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Teilaufgabe 1: Angenommen f und g sind in null differenzierbar, dann ist nach der Produktregel auch fg in null differenzierbar, und aus fg={\mathrm {id}} folgt für alle x\in (-\epsilon ,\epsilon ):
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Also können f und g in null nicht beide differenzierbar sein.
Teilaufgabe 2: Angenommen g ist in null differenzierbar, dann ist nach der Kettenregel auch g\circ f in null differenzierbar, und aus g\circ f={\mathrm {id}} folgt für alle x\in (-\epsilon ,\epsilon ):
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Also kann g in null nicht differenzierbar sein.

Ableitungen höherer Ordnung

Aufgabe 1

Übung: Beliebig oft differenzierbare Funktion
Zeige, dass die Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=xe^{x} beliebig oft differenzierbar ist, wobei für alle n\in \mathbb{N} gilt:
f^{{(n)}}(x)=(x+n)e^{x}
Beweis
Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über n\in \mathbb{N} :
Aussage, die wir für alle m\in \mathbb{N} beweisen wollen:
f^{{(n)}}(x)=(x+n)e^{x}
  1. Induktionsanfang:
    f'(x){\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}
  2. Induktionsschritt:
    1. Induktionsvoraussetzung:
      f^{{(n)}}(x)=(x+n)e^{x}
    2. Induktionsbehauptung:
      f^{{(n+1)}}(x)=(x+n+1)e^{x}
    3. Beweis des Induktionsschritts:
      f^{{(n+1)}}(x)=(f^{{(n)}}(x))'{\underset {{\text{voraussetzung}}}{{\overset {{\text{Induktions-}}}{=}}}}\left((x+n)e^{x}\right)'{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}1\cdot e^{x}+(x+n)e^{x}=(x+n+1)e^{x}

Aufgabe 2

Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen
Gib jeweils ein Beispiel einer
Übung 1:
Funktion f\in C^{{0}}(\mathbb{R} )\setminus C^{{1}}(\mathbb{R} )
Übung 2:
differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf \mathbb{R}
Übung 3:
Funktion f\in C^{{1}}(\mathbb{R} )\setminus C^{{2}}(\mathbb{R} )
Lösung: Lösung von Teilaufgabe 1:
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Lösung von Teilaufgabe 2:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13240, line: 252, col: 10 }, end: Position { offset: 13367, line: 253, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13240, line: 252, col: 10 }, end: Position { offset: 13367, line: 253, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{2}\\sin \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13367, line: 253, col: 41 }, end: Position { offset: 13373, line: 253, col: 47 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13373, line: 253, col: 47 }, end: Position { offset: 13500, line: 254, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13373, line: 253, col: 47 }, end: Position { offset: 13500, line: 254, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{2}\\cos \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] })]!
Lösung von Teilaufgabe 3:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13537, line: 257, col: 10 }, end: Position { offset: 13565, line: 257, col: 38 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13537, line: 257, col: 10 }, end: Position { offset: 13565, line: 257, col: 38 } }, text: "f(x)=x\\cdot |x|" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13565, line: 257, col: 38 }, end: Position { offset: 13571, line: 257, col: 44 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13571, line: 257, col: 44 }, end: Position { offset: 13698, line: 258, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13571, line: 257, col: 44 }, end: Position { offset: 13698, line: 258, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{3}\\sin \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13698, line: 258, col: 41 }, end: Position { offset: 13704, line: 258, col: 47 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13704, line: 258, col: 47 }, end: Position { offset: 13831, line: 259, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13704, line: 258, col: 47 }, end: Position { offset: 13831, line: 259, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{3}\\cos \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] })]!
Lösung von Teilaufgabe 4:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13868, line: 262, col: 10 }, end: Position { offset: 13898, line: 262, col: 40 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13868, line: 262, col: 10 }, end: Position { offset: 13898, line: 262, col: 40 } }, text: "f(x)=x^{2}\\cdot |x|" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13898, line: 262, col: 40 }, end: Position { offset: 13904, line: 262, col: 46 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 13904, line: 262, col: 46 }, end: Position { offset: 14031, line: 263, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 13904, line: 262, col: 46 }, end: Position { offset: 14031, line: 263, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{5}\\sin \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14031, line: 263, col: 41 }, end: Position { offset: 14037, line: 263, col: 47 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 14037, line: 263, col: 47 }, end: Position { offset: 14164, line: 264, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14037, line: 263, col: 47 }, end: Position { offset: 14164, line: 264, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{5}\\cos \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] })]!
Hinweis:
Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist f\in C^{{k}}(\mathbb{R} )\setminus C^{{k+1}}(\mathbb{R} ) für alle k\in \mathbb{N} , falls
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 14383, line: 269, col: 10 }, end: Position { offset: 14413, line: 269, col: 40 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14383, line: 269, col: 10 }, end: Position { offset: 14413, line: 269, col: 40 } }, text: "f(x)=x^{k}\\cdot |x|" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14413, line: 269, col: 40 }, end: Position { offset: 14419, line: 269, col: 46 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 14419, line: 269, col: 46 }, end: Position { offset: 14551, line: 270, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14419, line: 269, col: 46 }, end: Position { offset: 14551, line: 270, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{{2k+1}}\\sin \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14551, line: 270, col: 41 }, end: Position { offset: 14557, line: 270, col: 47 } }, text: " oder " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 14557, line: 270, col: 47 }, end: Position { offset: 14689, line: 271, col: 41 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 14557, line: 270, col: 47 }, end: Position { offset: 14689, line: 271, col: 41 } }, text: "f(x)={\\begin{cases}x^{{2k+1}}\\cos \\left({\\frac 1x}\\right)&{\\text{ für }}x\\neq 0,\\\\0&{\\text{ für }}x=0.\\end{cases}}" })] })]!

Aufgabe 3

Anwendung der Leibniz-Regel
Bestimme mit Hilfe der error: internal links not implemented, yet! die folgenden Ableitungen
Übung 1:
(x\sin(x))^{{(10)}}
Übung 2:
(x^{3}\ln(x))^{{(2016)}} für x>0
Lösung: Lösung von Teilaufgabe 1:
Die Funktionen {\text{id}} und \sin sind aúf \mathbb{R} beliebig oft differenzierbar. Daher gilt
{\begin{aligned}(x\sin(x))^{{(10)}}&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Leibniz-}}}{=}}}}\sum _{{k=0}}^{{10}}{\binom {10}{k}}(x)^{{(k)}}(\sin(x))^{{(10-k)}}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ (x)'=1,\ (x)^{{(k)}}=0{\text{ für }}k\geq 2,\ (\sin(x))^{{(4k+1)}}=\cos(x){\text{ und }}(\sin(x))^{{(4k+2)}}=-\sin(x){\text{ für alle }}k\in \mathbb{N} \right.\\[0.3em]&={\binom {10}{0}}(x)^{{(0)}}(\sin(x))^{{(10)}}+{\binom {10}{1}}(x)'(\sin(x))^{{(9)}}\\[0.3em]&={\binom {10}{0}}x(-\sin(x))+{\binom {10}{1}}\cos(x)\\[0.3em]&=-x\sin(x)+10\cos(x)\end{aligned}}
Lösung von Teilaufgabe 2:
Die Funktionen x\mapsto x^{3} und \ln sind aúf \mathbb{R} ^{+} beliebig oft differenzierbar. Daher gilt
{\begin{aligned}(x^{3}\ln(x))^{{(2016)}}&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Leibniz-}}}{=}}}}\sum _{{k=0}}^{{2016}}{\binom {2016}{k}}(x)^{{(k)}}(\ln(x))^{{(2016-k)}}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ (x^{3})'=3x^{2},\ (x^{3})''=6x,\ (x^{3})'''=6,\ (x)^{{(k)}}=0{\text{ für }}k\geq 4,\ (\ln(x))^{{(k)}}=(-1)^{{k-1}}{\tfrac {(k-1)!}{x^{k}}}{\text{ für alle }}k\in \mathbb{N} \right.\\[0.3em]&={\binom {2016}{0}}x^{3}(-1)^{{2015}}{\tfrac {(2015)!}{x^{{2016}}}}+{\binom {2016}{1}}\cdot 3x^{2}(-1)^{{2014}}{\tfrac {(2014)!}{x^{{2015}}}}+{\binom {2016}{2}}\cdot 6x(-1)^{{2013}}{\tfrac {(2013)!}{x^{{2014}}}}+{\binom {2016}{3}}\cdot 6\cdot (-1)^{{2012}}{\tfrac {(2012)!}{x^{{2013}}}}\\[0.3em]&=-x^{3}{\tfrac {(2015)!}{x^{{2016}}}}+2016\cdot 3x^{2}{\tfrac {(2014)!}{x^{{2015}}}}-2016\cdot 2015\cdot 3x{\tfrac {(2013)!}{x^{{2014}}}}+2016\cdot 2015\cdot 2014\cdot {\tfrac {(2012)!}{x^{{2013}}}}\\[0.3em]\end{aligned}}