In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Beispiele von Ableitungen zusammenfassen. Mit Hilfe der error: internal links not implemented, yet! zusammengesetzte Funktionen ebenfalls abgeleitet werden.

Tabelle wichtiger Ableitungen

In der folgenden Tabelle ist n\in \mathbb{N} , q\in \mathbb{Z} und {\tilde n}\in \mathbb{N} _{0}. Außerdem definieren wir a,b,c\in \mathbb{R} , a_{k}\in \mathbb{R} und p\in \mathbb{R} ^{+}.
Funktionsterm
Term der Ableitungsfunktion
Definitionsbereich der Ableitung
c
0
\mathbb{R}
x^{n}
nx^{{n-1}}
\mathbb{R}
ax+b
a
\mathbb{R}
ax^{2}+bx+c
2ax+b
\mathbb{R}
\sum _{{k=0}}^{{{\tilde n}}}a_{k}x^{k}
\sum _{{k=1}}^{{{\tilde n}}}a_{k}kx^{{k-1}}
\mathbb{R}
{\frac 1x}
-{\frac {1}{x^{2}}}
\mathbb{R} \setminus \{0\}
x^{{-n}}={\frac {1}{x^{n}}}
-{\frac {n}{x^{{n+1}}}}
\mathbb{R} \setminus \{0\}
x^{{q}}
qx^{{q-1}}
{\begin{cases}\mathbb{R} &q\in \mathbb{Z} _{0}^{+}\\\mathbb{R} \setminus \{0\}&q\in \mathbb{Z} ^{-}\end{cases}}
{\sqrt {x}}
{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}
\mathbb{R} ^{+}
{\sqrt[ {n}]{x}}
{\frac {1}{n{\sqrt[ {n}]{x^{{n-1}}}}}}
\mathbb{R} ^{+}
{\sqrt[ {n}]{x^{q}}}
{\frac {q}{n}}{\sqrt[ {n}]{x^{{q-n}}}}
\mathbb{R} ^{+}
\exp(x)=e^{x}
\exp(x)
\mathbb{R}
p^{x}=\exp(x\ln p)
\ln(p)\cdot p^{x}
\mathbb{R}
x^{a}=\exp(a\ln x)
ax^{{a-1}}
{\begin{cases}\mathbb{R} &a\geq 0\\\mathbb{R} \setminus \{0\}&a<0\end{cases}}
\ln |x|
{\frac {1}{x}}
\mathbb{R} \setminus \{0\}
\log _{p}|x|={\frac {\ln |x|}{\ln p}}
{\frac {1}{\ln(p)\cdot x}}
\mathbb{R} \setminus \{0\}
\sin(x)
\cos(x)
\mathbb{R}
\cos(x)
-\sin(x)
\mathbb{R}
\tan(x)={\frac {\sin x}{\cos x}}
{\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)
\mathbb{R} \setminus \{{\frac {\pi }{2}}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \}
\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}
{\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}
\mathbb{R} \setminus \{{\frac {\pi }{2}}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \}
\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}
-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}
\mathbb{R} \setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z} \}
\cot(x)={\frac {\cos x}{\sin x}}
-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-1-\cot ^{2}(x)
\mathbb{R} \setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z} \}
\arcsin(x)
{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(-1,1)
\arccos(x)
-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(-1,1)
\arctan(x)
{\frac {1}{1+x^{2}}}
\mathbb{R}
{\text{arcot}}(x)
-{\frac {1}{1+x^{2}}}
\mathbb{R}
\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{2}}
\cosh(x)
\mathbb{R}
\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{{-x}}}{2}}
\sinh(x)
\mathbb{R}
\tanh(x)={\frac {\sinh x}{\cosh x}}
{\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}=1-\tanh ^{2}(x)
\mathbb{R}
\operatorname {arsinh}(x)
{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+1}}}}
\mathbb{R}
\operatorname {arcosh}(x)
{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(1,\infty )
\operatorname {artanh}(x)
{\frac {1}{1-x^{2}}}
(-1,1)

Beispiele zur Berechnung von Ableitungen

Nun werden wir zahlreiche Beispiele von Ableitungen aus der Tabelle von oben durchrechnen. Häufig läuft es darauf raus den Differentialquotient der Funktion, also einen Grenzwert zu lösen. Manchmal ist es aber auch sinnvoll die Rechenregeln aus dem Kapitel zuvor anzuwenden.

Konstante Funktionen

Beginnen wir mit ein paar einfachen Ableitungen:
Satz: Ableitung einer konstanten Funktion
Jede konstante Funktion f\equiv c ist auf ganz \mathbb{R} differenzierbar mit Ableitung 0.
Beweis
Ist {\tilde x}\in \mathbb{R} , so gilt
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {f(x)-f({\tilde x})}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {c-c}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {0}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}0=0

Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen

Nun wenden wir uns der Ableitung von Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen zu. Dabei behandeln wir zunächst ein paar Spezialfälle:
Beispiel: Ableitung der Identitätsfunktion und der Normalparabelfunktion
Beispiel
Die Funktionen
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=x
und
g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ g(x)=x^{2}
sind differenzierbar auf ganz \mathbb{R} . Weiter gilt für {\tilde x}\in \mathbb{R} :
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {x-{\tilde x}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}1=1
sowie
g'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {x^{2}-{\tilde x}^{2}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {(x+{\tilde x})(x-{\tilde x})}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}(x+{\tilde x})=2{\tilde x}
Dabei haben wir bei der Ableitung von g die aus der Schule bekannte 3. binomische Formel (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2} verwendet.
Übung: Ableitung einer Potenzfunktion
Berechne die Ableitung von
h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=x^{3}
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
h'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {x^{3}-{\tilde x}^{3}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {(x^{2}+x{\tilde x}+{\tilde x}^{2})(x-{\tilde x})}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}(x^{2}+x{\tilde x}+{\tilde x}^{2})=3{\tilde x}^{2}
Anstelle die Identität x^{3}-{\tilde x}^{3}=(x^{2}+x{\tilde x}+{\tilde x}^{2})(x-{\tilde x}) zu benutzen, hätten wir auch {\tfrac {x^{3}-{\tilde x}^{3}}{x-{\tilde x}}}=x^{2}+x{\tilde x}+{\tilde x}^{2} mittels Polynomdivision berechnen können.
Nun wenden wir uns dem allgemeinen Fall, d.h. der Ableitung von x\mapsto x^{n} für n\in \mathbb{N} zu:
Satz: Ableitung der Potenzfunktion
Die Potenzfunktion
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=x^{n}
ist für n\in \mathbb{N} auf ganz \mathbb{R} differenzierbar. Für alle {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
f'(x)=n{\tilde x}^{{n-1}}
Beweis
Ist {\tilde x}\in \mathbb{R} , so gilt
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {x^{n}-{\tilde x}^{n}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}x^{k}{\tilde x}^{{n-1-k}}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\tilde x}^{k}{\tilde x}^{{n-1-k}}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\tilde x}^{{n-1}}=n{\tilde x}^{{n-1}}
Dabei haben wir die geometrische Summenformel \sum _{{k=0}}^{{n-1}}x^{k}{\tilde x}^{{n-1-k}}={\tfrac {x^{n}-{\tilde x}^{n}}{x-{\tilde x}}} und die Stetigkeit der Polynomfunktion x\mapsto \sum _{{k=0}}^{{n-1}}x^{k}{\tilde x}^{{n-1-k}} verwendet.

Polynome und gebrochen rationale Funktionen

Mit Hilfe der Rechenregeln für Ableitungen können wir nun die Ableitungen von Polynomfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen berechnen:
Satz: Ableitung von Polynomen
Ist
p:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ p(x)=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}x^{k}
mit a_{k}\in \mathbb{R} und n\in \mathbb{N} eine Polynomfunktion vom Grad n. Dann ist p auf ganz \mathbb{R} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
p'({\tilde x})=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}k{\tilde x}^{{k-1}}
Beweis
Mit Hilfe der Ableitungsregel für das Vielfache einer Funktion (\lambda f)'=\lambda f' idt jeder einzelne Summand des Polynoms auf \mathbb{R} differenzierbar. Mit der Summenregel können wir jede Polynomfunktion gliedweise auf \mathbb{R} ableiten und erhalten für {\tilde x}\in \mathbb{R} :
p'({\tilde x})=\sum _{{k=1}}^{{n}}a_{k}k{\tilde x}^{{k-1}}
wobei die Ableitung des nullten Summanden verschwunden ist.
Insbesondere folgt daraus für n=1 bzw. n=2, dass lineare und quadratische Funktionen auf ganz \mathbb{R} differenzierar sind.
Übung: Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen
Sei
r(x)={\frac {\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}x^{k}}{\sum _{{l=0}}^{m}b_{l}x^{l}}}
mit a_{k},b_{l}\in \mathbb{R} und n,m\in \mathbb{N} _{0} eine auf D=\mathbb{R} \setminus \{x\in \mathbb{R} :\sum _{{l=0}}^{m}b_{l}x^{l}\neq 0\} definierte gebrochen rationale Funktion. Zeige, dass r auf D differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung.
Zähler und Nenner von r sind Polynome. Da der Nenner ungleich null ist auf D und Polynome differenzierbar sind, folgt aus der Quotientenregel, dass r auf D differenzierbar ist.
Weiter gilt für {\tilde x}\in D:
r'({\tilde x})={\frac {\left(\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}k{\tilde x}^{{k-1}}\right)\cdot \left(\sum _{{l=0}}^{m}b_{l}{\tilde x}^{l}\right)-\left(\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}{\tilde x}^{k}\right)\cdot \left(\sum _{{l=1}}^{m}b_{l}l{\tilde x}^{{l-1}}\right)}{\left(\sum _{{l=0}}^{m}b_{l}{\tilde x}^{l}\right)^{2}}}

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Potenzen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten könne wir bereits ableiten. Nun untersuchen wir solche mit negativen ganzzahligen Exponenten.
Beispiel: Ableitung der Hyperbelfunktion
Beispiel
Die Potenzfunktion
f:\mathbb{R} \setminus \{0\},\ f(x)=x^{{-1}}={\frac 1x}
ist auf \mathbb{R} \setminus \{0\} differenzierbar und es gilt
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac 1x}-{\frac {1}{{\tilde x}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac {{\tilde x}-x}{x{\tilde x}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\tilde x}-x}{x{\tilde x}(x-{\tilde x})}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {-(x-{\tilde x})}{x{\tilde x}(x-{\tilde x})}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {-1}{x{\tilde x}}}=-{\frac {1}{{\tilde x}^{2}}}
für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\}.
Übung: Ableitung von x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}}}
Zeige, dass die Potenzfunktion
f:\mathbb{R} \setminus \{0\},\ f(x)=x^{{-2}}={\frac {1}{x^{2}}}
auf \mathbb{R} \setminus \{0\} differenzierbar ist und berechne dort ihre Ableitung.
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\} gilt
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{{\tilde x}^{2}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac {{\tilde x}^{2}-x^{2}}{x^{2}{\tilde x}^{2}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {({\tilde x}-x)({\tilde x}+x)}{x^{2}{\tilde x}^{2}(x-{\tilde x})}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {-(x-{\tilde x})(x+{\tilde x})}{x^{2}{\tilde x}^{2}(x-{\tilde x})}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {-(x+{\tilde x})}{x^{2}{\tilde x}^{2}}}=-{\frac {2{\tilde x}}{{\tilde x}^{4}}}=-{\frac {2}{{\tilde x}^{3}}}
Für den allgemeinen Fall x^{{-n}}={\tfrac {1}{x^{n}}} mit n\in \mathbb{N} gilt
Satz: Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
Die Potenzfunktion
f:\mathbb{R} \setminus \{0\},\ f(x)=x^{{-n}}={\frac {1}{x^{n}}}
ist auf \mathbb{R} \setminus \{0\} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\} gilt
f'({\tilde x})=-{\frac {n}{x^{{n-1}}}}
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\} gilt
{\begin{aligned}f'({\tilde x})&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac {1}{x^{n}}}-{\frac {1}{{\tilde x}^{n}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\frac {{\tilde x}^{n}-x^{n}}{x^{n}{\tilde x}^{n}}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{x^{n}{\tilde x}^{n}}}{\frac {{\tilde x}^{n}-x^{n}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{x^{n}{\tilde x}^{n}}}{\frac {-({\tilde x}^{n}-x^{n})}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{x^{n}{\tilde x}^{n}}}\cdot \left(-\sum _{{k=0}}^{{n-1}}x^{k}{\tilde x}^{{n-1-k}}\right)\\&={\frac {1}{{\tilde x}^{{2n}}}}\cdot \left(-\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\tilde x}^{{n-1}}\right)=-{\frac {1}{{\tilde x}^{{2n}}}}\cdot n{\tilde x}^{{n-1}}=-{\frac {n}{{\tilde x}^{{n-1}}}}\end{aligned}}
Übung: Ableitung der Potenzfunktion
Zeige ({\tfrac {1}{x^{n}}})'={\tfrac {-n}{x^{{n+1}}}} mit Hilfe der Quotientenregel
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\} gilt mit der Quotientenregel
\left({\frac {1}{{\tilde x}^{n}}}\right)'={\frac {0\cdot {\tilde x}^{n}-1\cdot n{\tilde x}^{{n-1}}}{({\tilde x}^{n})^{2}}}={\frac {-n{\tilde x}^{{n-1}}}{{\tilde x}^{{2n}}}}={\frac {-n}{{\tilde x}^{{2n-(n-1)}}}}={\frac {-n}{{\tilde x}^{{n+1}}}}
Anmerkung: Natürlich können wir auch direkt die Reziprokenregel anwenden, und erhalten so ebenfalls
\left({\frac {1}{{\tilde x}^{n}}}\right)'=-{\frac {n{\tilde x}^{{n-1}}}{{\tilde x}^{{2n}}}}={\frac {-n}{{\tilde x}^{{n+1}}}}
Betrachten wir nochmal die Ableitungsregel im letzten Fall, also f'({\tilde x})=-{\tfrac {n}{{\tilde x}^{{n-1}}}}=-n{\tilde x}^{{-n-1}} für n\in \mathbb{N} . Setzen wir k=-n\in \mathbb{Z} ^{-}, so erhalten wir f'({\tilde x})=k{\tilde x}^{{k-1}}. Die Ableitungsregel stimmt also mit der für x^{n} mit n\in \mathbb{N} überein. Daher können wir die beiden Fälle zusammenfassen und erhalten
Satz: Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
Für k\in \mathbb{Z} ist die Potenzfunktion
f:\mathbb{R} \setminus \{0\},\ f(x)=x^{k}
auf \mathbb{R} \setminus \{0\} differenzierbar. Für {\tilde x}\in \mathbb{R} \setminus \{0\} gilt dann
f'({\tilde x})=kx^{{k-1}}
Im Fall k\in \mathbb{N} ist sie sogar auf ganz \mathbb{R} differenzierbar.

Wurzelfunktionen

Nun untersuchen wir die Ableitung von Wurzelfunktionen. Wir starten wieder mit dem einfachsten Fall:
Beispiel: Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Beispiel
Die Quadratwurzelfunktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt x}
ist auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar und für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
{\begin{aligned}f'({\tilde x})&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt x}-{\sqrt {\tilde x}}}{x-{\tilde x}}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt x}-{\sqrt {\tilde x}}}{({\sqrt x})^{2}-({\sqrt {\tilde x}})^{2}}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt x}-{\sqrt {\tilde x}}}{({\sqrt x}-{\sqrt {\tilde x}})({\sqrt x}+{\sqrt {\tilde x}})}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{{\sqrt x}+{\sqrt {\tilde x}}}}\\[1em]&={\frac {1}{2{\sqrt {\tilde x}}}}\end{aligned}}
Verständnisfrage: Warum ist die Quadratwurzelfunktion in {\tilde x}=0 nicht differenzierbar, obwohl sie dort definiert und stetig ist?
Für den Differentialquotienten gilt
\lim _{{x\to 0+}}{\frac {{\sqrt x}-{\sqrt 0}}{x-0}}=\lim _{{x\to 0+}}{\frac {{\sqrt x}}{x}}=\lim _{{x\to 0+}}{\frac {1}{{\sqrt x}}}=\infty
Also existiert dieser nicht. Daraus folgt die Nicht-Differenzierbarkeit.
Übung: Ableitung der Kubikwurzelfunktion
Bestimme die Ableitung der Kubikwurzelfunktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt[ {3}]x}
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
{\begin{aligned}f'({\tilde x})&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt[ {3}]{x}}-{\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}}}{x-{\tilde x}}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {{\tilde x}}}}{\frac {{\sqrt[ {3}]{x}}-{\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}}}{({\sqrt[ {3}]{x}})^{3}-({\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}})^{3}}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt[ {3}]{x}}-{\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}}}{({\sqrt[ {3}]{x}}-{\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}})(({\sqrt[ {3}]{x}})^{2}+{\sqrt[ {3}]{x}}\cdot {\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}}+({\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}})^{2})}}\\[1em]&=\lim _{{x\to {{\tilde x}}}}{\frac {1}{({\sqrt[ {3}]{x}})^{2}+{\sqrt[ {3}]{x}}\cdot {\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}}+({\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}})^{2}}}\\[1em]&={\frac {1}{3({\sqrt[ {3}]{{\tilde x}}})^{2}}}\end{aligned}}
Nun betrachten wir den allgemeinen Fall der k-ten Wurzelfunktion. Hier gilt
Satz: Ableitung der k-ten Wurzelfunktion
Ist k\in \mathbb{N} ,k>1, so ist die k-te Wurzelfunktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt[ {k}]x}
auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
f'({\tilde x})={\frac {1}{k{\sqrt[ {k}]{x^{{k-1}}}}}}
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
f'({\tilde x})=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt[ {k}]x}-{\sqrt[ {k}]{\tilde x}}}{x-{\tilde x}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {{\sqrt[ {k}]x}-{\sqrt[ {k}]{\tilde x}}}{({\sqrt[ {k}]x})^{k}-({\sqrt[ {k}]{\tilde x}})^{k}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{{\frac {({\sqrt[ {k}]x})^{k}-({\sqrt[ {k}]{\tilde x}})^{k}}{{\sqrt[ {k}]x}-{\sqrt[ {k}]{\tilde x}}}}}}=\lim _{{x\to {\tilde x}}}{\frac {1}{\sum _{{l=0}}^{{k-1}}({\sqrt[ {k}]{x}})^{l}({\sqrt[ {k}]{{\tilde x}}})^{{k-1-l}}}}={\frac {1}{\sum _{{l=0}}^{{k-1}}({\sqrt[ {k}]{{\tilde x}}})^{{k-1}}}}={\frac {1}{k({\sqrt[ {k}]{{\tilde x}}})^{{k-1}}}}={\frac {1}{k{\sqrt[ {k}]{{\tilde x}^{{k-1}}}}}}
Dies lässt sich nun nochmal verallgemeinern
Satz: Ableitung der verallgemeinerten Wurzelfunktion
Ist q\in \mathbb{N} ,q>1 und p\in \mathbb{Z} , so ist die verallgemeinerte Wurzelfunktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)={\sqrt[ {q}]x}^{p}
auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
f'({\tilde x})={\frac {p}{q}}{\sqrt[ {q}]{x^{{p-q}}}}
Beweis
Da auf \mathbb{R} ^{+} die Funktionen x\mapsto x^{p} und y\mapsto {\sqrt[ {q}]{y}} differenzierbar sind, folgt aus der Kettenregel für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+}
f'({\tilde x})={\frac {1}{q{\sqrt[ {q}]{({\tilde x}^{p})^{{q-1}}}}}}\cdot p{\tilde x}^{{p-1}}={\frac pq}{\frac {{\sqrt[ {q}]{({\tilde x}^{{p-1}})^{q}}}}{{\sqrt[ {q}]{({\tilde x}^{p})^{{q-1}}}}}}={\frac pq}{\sqrt[ {q}]{{\frac {{\tilde x}^{{pq-q}}}{{\tilde x}^{{pq-p}}}}}}={\frac pq}{\sqrt[ {q}]{{\tilde x}^{{pq-q-pq+p}}}}={\frac pq}{\sqrt[ {q}]{{\tilde x}^{{p-q}}}}
Hinweis:
Da für p\in \mathbb{Z} und q\in \mathbb{N} und r={\tfrac pq}\in \mathbb{Q} war die Potenz mit rationalem Exponenten definiert durch
x^{r}=x^{{{\frac pq}}}={\sqrt[ {q}]{x^{p}}}
Damit gilt auch für r\in \mathbb{Q} die Ableitungsregel
(x^{r})'={\frac pq}{\sqrt[ {q}]{{\tilde x}^{{p-q}}}}={\frac pq}x^{{{\frac {p-q}{q}}}}={\frac pq}x^{{{\frac {p}{q}}-1}}=rx^{{r-1}}

Die (verallgemeinerte) Exponentialfunktion und verallgemeinerten Potenzfunktion

In diesem Abschnitt werden wir beweisen, dass die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ist. Damit können wir dann auch die Ableitung der verallgemeinerten Exponential- und Potenzfunktion bestimmen.
Satz: Ableitung der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=\exp(x)
auf \mathbb{R} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
f'({\tilde x})=\exp({\tilde x})
Wie komme ich auf den Beweis?
Bei dieser Ableitung ist es sinnvoller die h-Methode
f'({\tilde x})=\lim _{{h\to 0}}{\frac {f({\tilde x}+h)-f({\tilde x})}{h}}
zu verwenden. Denn bei dieser können wir den bekannten Grenzwert
\lim _{{h\to 0}}{\frac {\exp(h)-1}{h}}=1
verwenden. Des Weiteren benötigen wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
{\begin{aligned}f'({\tilde x})&=\lim _{{h\to 0}}{\frac {f({\tilde x}+h)-f({\tilde x})}{h}}=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\exp({\tilde x}+h)-\exp({\tilde x})}{h}}=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\exp({\tilde x})\exp(h)-\exp({\tilde x})}{h}}\\&=\lim _{{h\to 0}}\exp({\tilde x}){\frac {\exp(h)-1}{h}}=\exp({\tilde x})\cdot \lim _{{h\to 0}}{\frac {\exp(h)-1}{h}}=\exp({\tilde x})\cdot 1=\exp({\tilde x})\end{aligned}}
Mit Hilfe der Kettenregel lassen sich daraus die Ableitungen der verallgemeinerten Exponentialfunktion x\mapsto a^{x} für a\in \mathbb{R} ^{+} und der verallgemeinerten Potenzfunktion x\mapsto x^{r} für r\in \mathbb{R} berechnen:
Satz: Ableitung der verallgemeinerten Exponentialfunktion
Für a\in \mathbb{R} ^{+} ist die verallgemeinerte Exponentialfunktion
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=a^{x}=\exp(x\ln(a))
auf \mathbb{R} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
f'({\tilde x})=\ln(a)a^{{\tilde x}}
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt
f'({\tilde x})=\exp({\tilde x}\ln(a))\cdot \ln(a)=\ln(a)a^{{\tilde x}}
Satz: Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion
Für r\in \mathbb{R} ist die verallgemeinerte Potenzfunktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)=x^{r}=\exp(\ln(x)r)
auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar, und für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
f'({\tilde x})=r{\tilde x}^{{r-1}}
Übung: Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion
Beweise, dass für die Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion in {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gleich r{\tilde x}^{{r-1}} ist.
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt mit der Kettenregel
f'({\tilde x})=\exp(\ln({\tilde x})r)\cdot {\frac r{\tilde x}}=r{\tilde x}^{{r}}{\frac 1{\tilde x}}=r{\tilde x}^{{r-1}}

Die natürliche und verallgemeinerte Logarithmusfunktion

Nun wenden wir uns der Ableitung der natürlichen und verallgemeinerten Logarithmusfunktion zu. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir direkt aus der error: internal links not implemented, yet! folgern:
Satz: Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
Die natürliche Logarithmusfunktion
g:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ g(x)=\ln x
auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar. Für {\tilde x}\in \mathbb{R} ^{+} gilt
g'(y)={\frac 1y}
Beweis
Für die Exponentialfunktion \exp :\mathbb{R} \to \mathbb{R} gilt: f'=\exp . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen f'>0 streng monoton steigend. Außerdem ist f surjektiv. Die Umkehrfunktion f^{{-1}}=g ist die (natürliche) Logarithmusfunktion
f^{{-1}}:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f^{{-1}}(x)=\ln x
Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes y\in \mathbb{R} ^{+}:
g'(y)=(f^{{-1}})'(y)={\frac {1}{f'(f^{{-1}}(y))}}={\frac {1}{e^{{\ln y}}}}={\frac {1}{y}}
Die Ableitung lässt sich ebenfalls direkt mittels des Differentialquotienten berechnen. Wer dies probieren möchte, dem sein die ebtsprechende error: internal links not implemented, yet! empfohlen.
Mit Hilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion können wir nun unmittelbar folgern
Satz: Ableitung der verallgemeinerten Logarithmusfunktion
Für a\in \mathbb{R} ^{+} ist die verallgemeinerte Logarithmusfunktion
g:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ g(x)=\log _{a}(y)={\frac {\ln y}{\ln a}}
auf \mathbb{R} ^{+} differenzierbar. Für y\in \mathbb{R} ^{+} gilt
g'(y)={\frac {1}{y\ln a}}
Beweis
Aus der Ableitungsregel für das Vielfache einer Funktion folgt für alle y\in \mathbb{R} ^{+}:
g'(y)={\frac {1}{\ln a}}{\frac {1}{y}}={\frac {1}{y\ln a}}
Wenn die Ableitung des natürlichen Logarithmus nicht zur Verfügung steht, so können wir den Satz auch über die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen.

Die trigonometrischen Funktionen

Sinus

Satz: Ableitung vom Sinus
Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle {\tilde x}\in \mathbb{R} gilt:
\sin '({\tilde x})=\cos({\tilde x})
Beweis
Für {\tilde x}\in \mathbb{R} ist
{\begin{aligned}\sin '({\tilde x})&=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\sin({\tilde x}+h)-\sin({\tilde x})}{h}}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\right.\\[0.3em]&=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\sin({\tilde x})\cos(h)+\cos({\tilde x})\sin(h)-\sin({\tilde x})}{h}}\\[0.3em]&=\sin({\tilde x})\cdot \underbrace {\lim _{{h\to 0}}{\frac {\cos(h)-1}{h}}}_{{=0}}+\cos({\tilde x})\cdot \underbrace {\lim _{{h\to 0}}{{\frac {\sin(h)}{h}}}}_{{=1}}\\[0.3em]&=\cos({\tilde x})\end{aligned}}

Kosinus

Satz: Ableitung des Kosinus
Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit
\cos '({\tilde x})=-\sin({\tilde x})
Beweis
{\begin{aligned}\cos '({\tilde x})&=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\cos({\tilde x}+h)-\cos({\tilde x})}{h}}\\[0.5em]&\color {Gray}\left\downarrow \ \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\right.\\[0.5em]&=\lim _{{h\to 0}}{\frac {\cos({\tilde x})\cos(h)-\sin({\tilde x})\sin(h)-\cos({\tilde x})}{h}}\\[0.5em]&=\cos({\tilde x})\cdot \underbrace {\lim _{{h\to 0}}{\frac {\cos(h)-1}{h}}}_{{=0}}-\sin({\tilde x})\cdot \underbrace {\lim _{{h\to 0}}{{\frac {\sin(h)}{h}}}}_{{=1}}\\[0.5em]&=-\sin({\tilde x})\end{aligned}}

Tangens

Satz: Ableitung des Tangens
Die Tangens-Funktionen
\tan :D=\mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}\to \mathbb{R} ,\ \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}
ist auf D differenzierbar, und für {\tilde x}\in D gilt
\tan '({\tilde x})={\frac {1}{\cos ^{2}({\tilde x})}}=1+\tan ^{2}({\tilde x})
Beweis
Wegen \cos(x)\neq 0 für x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ist \tan nach der Quotientenregel differenzierbar, und für {\tilde x}\in D gilt
\tan '({\tilde x})={\frac {\cos({\tilde x})\cos({\tilde x})-\sin({\tilde x})(-\sin({\tilde x}))}{\cos ^{2}({\tilde x})}}={\frac {\cos ^{2}({\tilde x})+\sin ^{2}({\tilde x})}{\cos ^{2}({\tilde x})}}{\begin{cases}{\underset {{\text{Pythagoras}}}{{\overset {{\text{Trigonometrischer}}}{=}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}({\tilde x})}}\\=1+{\frac {\sin ^{2}({\tilde x})}{\cos ^{2}({\tilde x})}}=1+\tan ^{2}({\tilde x})\end{cases}}
Übung: Ableitung des Kotangens
Die Kotangens-Funktionen
\cot :D=\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}\to \mathbb{R} ,\ \cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}
ist auf D differenzierbar, und für {\tilde x}\in D gilt
\cot '({\tilde x})=-{\frac {1}{\sin ^{2}({\tilde x})}}=-1-\cot ^{2}({\tilde x})
Wegen \sin(x)\neq 0 für x\neq k\pi ist \tan nach der Quotientenregel differenzierbar, und für {\tilde x}\in D gilt
\cot '({\tilde x})=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin({\tilde x})\sin({\tilde x})-\cos({\tilde x})\cos({\tilde x})}{\sin ^{2}({\tilde x})}}=-{\frac {\sin ^{2}({\tilde x})+\cos ^{2}({\tilde x})}{\sin ^{2}({\tilde x})}}{\begin{cases}{\underset {{\text{Pythagoras}}}{{\overset {{\text{Trigonometrischer}}}{=}}}}-{\frac {1}{\sin ^{2}({\tilde x})}}\\=-1-{\frac {\cos ^{2}({\tilde x})}{\sin ^{2}({\tilde x})}}=-1-\cot ^{2}({\tilde x})\end{cases}}
Alternative Lösung:
\cot '({\tilde x})=\left({\frac {1}{\tan(x)}}\right)'=-{\frac {1+\tan ^{2}({\tilde x})}{\tan ^{2}({\tilde x})}}{\begin{cases}=-{\frac {1+{\frac {\sin ^{2}({\tilde x})}{\cos ^{2}({\tilde x})}}}{{\frac {\sin ^{2}({\tilde x})}{\cos ^{2}({\tilde x})}}}}=-{\frac {\cos ^{2}({\tilde x})+\sin ^{2}({\tilde x})}{\sin ^{2}({\tilde x})}}{\underset {{\text{Pythagoras}}}{{\overset {{\text{Trigonometrischer}}}{=}}}}-{\frac {1}{\sin ^{2}({\tilde x})}}\\=-{\frac {1}{\tan ^{2}({\tilde x})}}-1=-1-\cot ^{2}({\tilde x})\end{cases}}
Die Ableitungen von Sekans und Kosekans findest du in der entsprechenden Übungsaufgabe.

Die Arkus-Funktionen

Mit Hilfe der error: internal links not implemented, yet! bestimmen wir nun die Ableitungen der Arkus-Funktionen.

Arkussinus und Arkuskosinus

Satz: Ableitungen des Arkussinus und -kosinus
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen \arcsin , \arccos sind differenzierbar, und es gilt
{\begin{aligned}\arcsin '({\tilde x})&={\frac {1}{{\sqrt {1-{\tilde x}^{2}}}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde x}\in (-1,1),\\\arccos '({\tilde x})&=-{\frac {1}{{\sqrt {1-{\tilde x}^{2}}}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde x}\in (-1,1),\\\end{aligned}}
ErklärungHinweis: Zwar sind \arcsin und \arccos auf [-1,1] definiert und stetig, jedoch nur auf (-1,1) differenzierbar.
Beweis
Ableitung von \arcsin :
Für die Sinusfunktion \sin :(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to \mathbb{R} gilt: \sin '=\cos . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen \cos(x)>0 für alle x\in (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}), auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist \sin((-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}))=(-1,1). Also ist \sin :(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to (-1,1) surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion
\arcsin :(-1,1)\to (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to \mathbb{R}
Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes {\tilde x}\in (-1,1):
\arcsin '({\tilde x})={\frac {1}{\sin '(\arcsin({\tilde x}))}}={\frac {1}{\cos(\arcsin({\tilde x}))}}{\underset {{\text{Pythagoras}}}{{\overset {{\text{Trigonometrischer}}}{=}}}}{\frac {1}{{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin({\tilde x}))}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-{\tilde x}^{2}}}}}
Ableitung von \arccos :
Für die Cosinusfunktion \cos :(0,\pi )\to \mathbb{R} gilt: \cos '=-\sin . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen -\sin(x)|_{{(0,\pi )}}<0, streng monoton fallend. Weiter ist \cos((0,\pi ))=(-1,1). Also ist \cos :(0,\pi )\to (-1,1) surjektiv. Die Umkehrfunktion
\arccos :(-1,1)\to (0,\pi )\to \mathbb{R}
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes {\tilde x}\in (-1,1) gilt:
\arccos '({\tilde x})={\frac {1}{\cos '(\arccos({\tilde x}))}}={\frac {1}{-\sin(\arcsin({\tilde x}))}}{\underset {{\text{Pythagoras}}}{{\overset {{\text{Trigonometrischer}}}{=}}}}-{\frac {1}{{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos({\tilde x}))}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {1-{\tilde x}^{2}}}}}

Arkustangens und Arkuskotangens

Satz: Ableitungen des Arkustangens und -kotangens
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen \arctan , \operatorname{arccot} sind differenzierbar, und es gilt
{\begin{aligned}\arctan '({\tilde x})&={\frac {1}{1+{\tilde x}^{2}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde x}\in \mathbb{R} \\\operatorname{arccot} '({\tilde x})&=-{\frac {1}{1+{\tilde x}^{2}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde x}\in \mathbb{R} \end{aligned}}
Beweis
Für die Tangensfunktion \tan |_{{(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}} gilt: \tan '=1+\tan ^{2}>0. Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton steigend. Weiter ist \tan((-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}))=\mathbb{R} . Also ist \tan :(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to \mathbb{R} surjektiv. Die Umkehrfunktion
\arccos :(-1,1)\to (0,\pi )\to \mathbb{R}
ist damit differenzierbar, und nun für {\tilde x}\in (-1,1) gilt:
\arctan '({\tilde x})={\frac {1}{\tan '(\arctan({\tilde x}))}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan({\tilde x}))}}={\frac {1}{1+{\tilde x}^{2}}}

Die Hyperbolischen Funktionen

Zuletzt bestimmen wir noch die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen \sinh , \cosh und \tanh :
Satz: Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen
Die Funktionen
{\begin{aligned}\sinh :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{2}}\\\cosh :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{{-x}}}{2}}\\\tanh :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\end{aligned}}
sind differenzierbar, und es gilt
{\begin{aligned}\sinh '(x)&=\cosh(x)\\\cosh '({\tilde x})&=\sinh({\tilde x})\\\tanh '({\tilde x})&={\frac {1}{\cosh ^{2}({\tilde x})}}=\tanh ^{2}({\tilde x})-1\\\end{aligned}}
Beweis
Die Ableitungen folgen unmittelbar aus den Rechenregeln. Wir zeigen nur die Ableitung von \sinh . Die beiden anderen sind euch zur Übung überlassen.
Nach der Faktor- und Differenzenregel ist \sinh(x)={\tfrac 12}e^{x}-{\tfrac 12}e^{{-x}} für alle x\in \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
\sinh '(x)={\tfrac 12}e^{x}-{\tfrac 12}e^{{-x}}(-1)={\tfrac 12}e^{x}+{\tfrac 12}e^{{-x}}=\cosh(x)
Übung: Ableitung von \cosh und \tanh
Zeige, dass \cosh und \tanh differenzierbar ist mit
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Beweis
Ableitung von \cosh :
Nach der Faktor- und Summenregel ist \cosh(x)={\tfrac 12}e^{x}+{\tfrac 12}e^{{-x}} für alle x\in \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
\cosh '(x)={\tfrac 12}e^{x}+{\tfrac 12}e^{{-x}}(-1)={\tfrac 12}e^{x}-{\tfrac 12}e^{{-x}}=\sinh(x)
Ableitung von \tanh :
\tanh ={\tfrac {\sinh }{\cosh }} ist nach der Quotientenregel auf ganz \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
\tanh '(x)={\frac {\cosh(x)\cosh(x)-\sinh(x)\sinh(x)}{\cosh ^{2}(x)}}={\frac {\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}{\begin{cases}={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\\=1-{\frac {\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}=1-\tanh ^{2}(x)\end{cases}}