Das Epsilon-Delta-Kriterium ist neben dem Folgenkriterium eine weitere Variante, die error: internal links not implemented, yet!
zu definieren. Sie umschreibt die charakteristische Eigenschaft stetiger Funktionen, dass hinreichend kleine Änderungen des Arguments beliebig kleine Änderungen im Funktionswert verursachen.
Motivation
Zu Beginn des Kapitels haben wir gelernt, dass die Stetigkeit einer Funktion zumindest vereinfacht als Abwesenheit von Sprüngen interpretiert werden kann. An einer stetigen Stelle ändern sich die Funktionswerte also beliebig wenig, wenn nur das Argument hinreichend wenig geändert wird. Es gilt also f(x)\approx f(x_{0}), wenn x hinreichend nah an x_{0} liegt. Solche Funktionswerte f(x) können zur Annäherung von f(x_{0}) herangezogen werden.
Stetigkeit bei Approximation von Funktionswerten
Hat eine Funktion keine Sprünge, kann man ihre Funktionswerte durch umliegende Werte approximieren. Für diese Annäherung und somit auch für den Beweis der Stetigkeit verwenden wir das Epsilon-Delta-Kriterium stetiger Funktionen. Doch was bedeutet das genau?
Nehmen wir an, wir führen ein Experiment durch, bei dem wir die Lufttemperatur messen wollen. Sei f die Funktion für den Temperaturverlauf. f(x) ist also die Temperatur zum Zeitpunkt x. Aufgrund eines technischen Fehlers fehlt uns ein bestimmter Wert f(x_{0}), den wir nun möglichst genau approximieren wollen:
Durch den technischen Fehler war die direkte Messung von f(x_{0}) nicht möglich. Weil sich der Temperaturverlauf kontinuierlich ändert und es damit insbesondere zum Zeitpunkt x_{0} keinen Sprung im Temperaturverlauf gibt, können wir ersatzweise die Temperatur zeitnah an x_{0} bestimmen. Wir nähern also den Wert f(x_{0}) an, indem wir eine Temperatur f(x) bestimmen, bei der der Zeitpunkt x nah an x_{0} liegt. f(x) ist dann eine Annäherung von f(x_{0}). Wie nah muss hierzu x an x_{0} liegen?
Nehmen wir an, dass sich für die spätere Auswertung die gemessene Temperatur maximal um den Fehler \epsilon =0{,}1\ {\mathrm {^{\circ }C}} von der tatsächlichen Temperatur unterscheiden darf. Unser Messwert muss sich also im grau hinterlegten Bereich der folgenden Grafik befinden. Das sind alle Punkte, deren Funktionswerte zwischen f(x_{0})-\epsilon und f(x_{0})+\epsilon liegen, die sich also im offenen Intervall (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ) befinden:
In der Graphik sehen wir, dass es um x_{0} einen Bereich gibt, in dem sich die Funktionswerte maximal um \epsilon von f(x_{0}) unterscheiden. Es gibt also einen Zeitabstand \delta , so dass alle Funktionswerte mit Argumenten im Intervall (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) im grau hinterlegten Bereich liegen:
Es ist also möglich, unseren gesuchten Wert f(x_{0}) ausreichend gut (sprich mit einem Maximalfehler von \epsilon ) zu approximieren. Wenn wir nämlich einen Zeitpunkt x mit einem Abstand von x_{0} kleiner als den Zeitabstand \delta wählen, so ist der Abstand von f(x) zu f(x_{0}) kleiner als der geforderte Maximalabstand \epsilon . Wir können so f(x) als Annäherung von f(x_{0}) wählen.
Zusammenfassung: Es gibt ein \delta >0, so dass der Abstand |f(x)-f(x_{0})| kleiner als \epsilon für |x-x_{0}| kleiner als \delta ist. Also: |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon
Erhöhte Anforderungen an die Approximation
Was passiert, wenn wir bei unserer Messung aufgrund erhöhter Anforderungen an die Auswertung den Temperaturwert besser kennen müssen? Was ist, wenn beispielsweise der geforderte Maximalfehler der Temperaturmessung nun \epsilon _{2}=0{,}05\ {\mathrm {^{\circ }C}} und nicht mehr \epsilon =0{,}1\ {\mathrm {^{\circ }C}} ist?
Auch in diesem Fall gibt es einen Bereich um x_{0}, in dem sich die Funktionswerte weniger als \epsilon _{2} von f(x_{0}) unterscheiden. Es gibt also ein \delta _{2}>0, so dass sich f(x) um maximal \epsilon _{2} von f(x_{0}) unterscheidet, wenn |x-x_{0}|<\delta _{2} ist:
Kleinerer Delta-Bereich um x_0, in dem alle Funktionswerte im kleineren Epsilon-Bereich um f(x_0) liegen (Lukasstockner, Stephan Kulla: CC0)
Egal wie klein \epsilon gewählt wird, es kann wegen des kontinuierlichen Temperaturverlaufes immer ein \delta >0 gefunden werden, so dass sich f(x) um maximal \epsilon von f(x_{0}) unterscheidet, wenn der Abstand von x zu x_{0} kleiner als \delta ist. Es gilt:
Egal welchen Maximalfehler \epsilon >0 wir vorgeben, es gibt immer einen Bereich um x_{0} in der Form (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) mit \delta >0, in der die Funktionswerte einen Abstand kleiner als \epsilon von f(x_{0}) entfernt liegen.
Der obige Umstand ist deswegen erfüllt, weil die Funktion f bei x_{0} kontinuierlich verläuft und keinen Sprung macht oder – anders formuliert – weil die Funktion f an der Stelle x_{0} stetig ist. Es gilt sogar mehr: Dieser Umstand charakterisiert auf eine formale Art die Tatsache, dass es bei x_{0} keinen Sprung im Funktionsgraphen von f gibt. Wir können ihn also als formale Definition der Stetigkeit nutzen. Wegen der auftretenden Variablen \epsilon und \delta wird diese Definition das Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit
genannt.
Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit
Warum gilt das Epsilon-Delta-Kriterium genau dann, wenn der Funktionsgraph an der entsprechenden Stelle keinen Sprung macht (also an dieser Stelle stetig ist)? Am Beispiel des Temperaturverlaufs konnten wir intuitiv nachvollziehen, dass das Epsilon-Delta-Kriterium bei stetigen Funktionen erfüllt ist. Ist es auch so, dass bei Sprüngen an einer Stelle im Funktionsgraphen das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt ist? Nehmen wir nun hypothetisch an, dass der Temperaturverlauf an der Stelle x_{0} einen Sprung macht:
Dann können wir keinen \delta -Bereich (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) um x_{0} finden, in dem alle Funktionswerte einen Abstand kleiner als \epsilon von f(x_{0}) besitzen. Wenn wir beispielsweise das folgende \delta wählen, dann gibt es ein x zwischen x_{0}-\delta und x_{0}+\delta , welches einen Abstand größer als \epsilon von f(x_{0}) besitzt:
Egal wie klein \delta ist, es gibt immer mindestens ein Argument x mit einen Abstand kleiner als \delta von x_{0}, dessen Funktionswert f(x) sich mehr als \epsilon um f(x_{0}) unterscheidet. So sehen wir intuitiv, dass das Epsilon-Delta-Kriterium bei Sprüngen im Graphen nicht erfüllt ist. Damit charakterisiert das Epsilon-Delta-Kriterium die Tatsache, dass der Funktionsgraph an der betrachteten Stelle keinen Sprung macht. Es ist eine Definition der Stetigkeit. Da in diesem Kriterium nur bereits definierte mathematische Begriffe verwendet werden, genügt es den Anforderungen einer formalen Definition.
Hinweis:
Im obigen Beispiel mit der Temperaturmessung haben wir einige Aspekte nicht beachtet, die man bei einer solchen Messung beachten müsste. So sind wir davon ausgegangen, dass unsere Messungen perfekt sind und keine Messfehler aufweisen. Dies ist in der Realität aber nicht der Fall. Jede Messung weist einen Unterschied zum realen Wert auf. Auch sind wir davon ausgegangen, dass unsere Messungen instantan erfolgen. In der Regel brauchen wir aber für jede Messung eine gewisse Zeit. Für ein reales Experiment müssten wir mehr beachten. 😃
Definition
Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit
error: non-centered image not implemented, yet!
Die \epsilon -\delta Definition der Stetigkeit an einer Stelle x_{0} im Definitionsbereich lautet:
Definition: Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} ist genau dann stetig an der Stelle x_{0}\in D, wenn es zu jedem \epsilon >0 ein \delta >0 gibt, so dass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle x\in D mit |x-x_{0}|<\delta ist. f ist also genau dann in x_{0}\in D stetig, wenn gilt
{\begin{aligned}{\begin{array}{l}\underbrace {{\underset {}{}}\forall \epsilon >0}_{{{\text{Für alle }}\epsilon >0}}\underbrace {{\underset {}{}}\exists \delta >0}_{{{\text{ gibt es ein }}\delta >0}}\underbrace {{\underset {}{}}\forall x\in D}_{{{\text{, so dass für alle }}x\in D}}\\[1em]\quad \underbrace {{\underset {}{}}|x-x_{0}|<\delta }_{{{\text{ mit Abstand von }}x_{0}{\text{ kleiner }}\delta }}\underbrace {{\underset {}{}}\implies }_{{{\text{ gilt}}}}\underbrace {{\underset {}{}}|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }_{{{\text{, dass der Abstand von }}f(x){\text{ zu }}f(x_{0}){\text{ kleiner als }}\epsilon {\text{ ist}}}}\end{array}}\end{aligned}}
Die obige Definition beschreibt die Stetigkeit an einem Punkt. Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} nennt man stetig, wenn sie an jedem Punkt in ihrem Definitionsbereich nach dem Epsilon-Delta-Kriterium stetig ist.
Herleitung des Epsilon-Delta-Kriterium für Unstetigkeit
Durch Negation der obigen Definition erhalten wir das Epsilon-Delta-Kriterium der Unstetigkeit. Im Kapitel error: internal links not implemented, yet!
haben wir besprochen, wie mathematische Aussagen negiert werden können. Dabei wird aus dem Allquantor \forall ein Existenzquantor \exists und umgekehrt. Bei der inneren Implikation müssen wir beachten, dass die Negation von A\implies B äquivalent zur Aussage A\land \neg B ist. Wenn wir das Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit negieren, erhalten wir:
Definition: Epsilon-Delta-Definition der Unstetigkeit
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} ist genau dann unstetig an der Stelle x_{0}\in D, wenn es ein \epsilon >0 gibt, so dass es für alle \delta >0 ein x\in D mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gibt. f ist also genau dann in x_{0}\in D unstetig, wenn gilt
{\begin{aligned}{\begin{array}{l}\underbrace {{\underset {}{}}\exists \epsilon >0}_{{{\text{Es gibt ein }}\epsilon >0,}}\underbrace {{\underset {}{}}\forall \delta >0}_{{{\text{ so dass für alle }}\delta >0}}\underbrace {{\underset {}{}}\exists x\in D}_{{{\text{ ein }}x\in D{\text{ existiert}}}}\\[1em]\quad \underbrace {{\underset {}{}}|x-x_{0}|<\delta }_{{{\text{ mit Abstand von }}x_{0}{\text{ kleiner }}\delta }}\underbrace {{\underset {}{}}\land }_{{{\text{ und}}}}\underbrace {{\underset {}{}}|f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon }_{{{\text{der Abstand von }}f(x){\text{ zu }}f(x_{0}){\text{ ist größer gleich }}\epsilon }}\end{array}}\end{aligned}}
Erklärungen zum Epsilon-Delta-Kriterium
Die Ungleichung |x-x_{0}|<\delta bedeutet, dass der Abstand zwischen x und x_{0} kleiner als \delta ist. Analog ist |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon gleichbedeutend damit, dass der Abstand zwischen f(x) und f(x_{0}) kleiner als \epsilon ist. Aus der Implikation |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon folgt damit, dass der Abstand zwischen f(x) und f(x_{0}) garantiert kleiner als \epsilon ist, wenn der Abstand zwischen x und x_{0} kleiner als \delta ist. Die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit kann somit auch folgendermaßen interpretiert werden:
Egal wie klein man den Maximalabstand \epsilon bezüglich des Funktionswertes f(x) vorgibt, gibt es ein \delta >0, so dass der Abstand von f(x) zu f(x_{0}) garantiert kleiner als \epsilon ist, wenn x einen Abstand kleiner als \delta zu x_{0} besitzt.
Bei stetigen Funktionen kann man also den Fehler – sprich den Abstand – in den Funktionswerten kontrollieren, indem man den Abstand in den Argumenten hinreichend klein hält. Die Suche nach dem \delta entspricht der Beantwortung der Frage: Wie klein muss ich den Abstand im Argument wählen, damit der Abstand im Funktionswert maximal \epsilon ist? Diese Frage ist durchaus relevant. Stell dir vor, du erhebst einen Messwert x_{0} und berechnest damit einen Wert f(x_{0}) über eine stetige Funktion f. Dann kannst du einen Argumentenfehler \delta bestimmen, der dir garantiert, dass der Endfehler der Berechnung |f(x)-f(x_{0})| garantiert kleiner als \epsilon ist, wenn der Fehler im Argument |x-x_{0}| kleiner als \delta ist.
Ein \delta kann nur dann gefunden werden, wenn kleine Änderungen des Arguments x_{0} kleine Änderungen des Funktionswertes f(x_{0}) verursachen. Bei stetigen Funktionen an der Stelle x_{0} muss also gelten:
x\approx x_{0}\implies f(x)\approx f(x_{0})
Diese Implikation muss man so lesen: Wenn x hinreichend nah an x_{0} liegt, dann ist f(x) ungefähr f(x_{0}). Diese Tatsache kann auch mit dem Begriff der \epsilon -Umgebung beschrieben werden:
Zu jeder noch so kleinen \epsilon -Umgebung (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ) um f(x_{0}) gibt es eine \delta -Umgebung (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) um x_{0}, deren Funktionswerte alle in der \epsilon -Umgebung liegen.
Diese Beschreibung wird in der Topologie weiter verallgemeinert und führt zur topologischen Definition der Stetigkeit.
Visuelle Interpretation des Epsilon-Delta-Kriteriums
Beschreibung der Stetigkeit im Graphen
Das Epsilon-Delta-Kriterium kann gut im Graphen visualisiert werden. Wir starten hier mit der Implikation |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon . Nach ihr ist der Abstand von f(x) zu f(x_{0}) kleiner als Epsilon, wenn der Abstand von x zu x_{0} kleiner als \delta ist. Sprich: Für x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) ist f(x)\in (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ). Dies kann dadurch illustriert werden, dass der Punkt (x,f(x)) im Inneren des Rechtecks (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\times (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ) liegt. Dabei ist (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\times (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ) das Innere des Rechtecks mit Breite 2\delta und der Höhe 2\epsilon um den Mittelpunkt (x_{0},f(x_{0})):
Dieses Rechteck werden wir im Folgenden 2\epsilon -2\delta -Rechteck nennen. Der Rand des Rechtecks gehört dabei nicht dazu. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium ist die Implikation |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle Argumente x erfüllt. Damit müssen alle Punkte des Graphen von f eingeschränkt auf die Argumente im Intervall (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegen (grüner Bereich in der folgenden Zeichnung) und dürfen sich nicht oberhalb oder unterhalb des Rechtecks befinden (roter Bereich):
Insgesamt kann das Epsilon-Delta-Kriterium folgendermaßen beschrieben werden:
Zu jedem \epsilon >0 gibt es ein (hinreichend kleines) \delta >0, so dass der Graph von f eingeschränkt auf (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) komplett im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegt.
Beispiel einer stetigen Funktion
Schauen wir uns dies am Beispiel der Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} :x\mapsto {\tfrac 13}x an. Diese Funktion ist an jeder Stelle stetig und damit insbesondere auch im Punkt x_{0}=1. Es ist f(x_{0})=f(1)={\tfrac 13}\cdot 1={\tfrac 13}. Betrachten wir zunächst den maximalen Fehler \epsilon =1 um f(x_{0}). Wir finden mit \delta =2 ein \delta >0, so dass der Graph von f im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks verläuft:
Nicht nur für \epsilon =1, sondern zu jedem \epsilon >0 können wir ein \delta >0 angeben, so dass f im Inneren und nicht ober- bzw. unterhalb vom 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegt:
error: galleries not implemented, yet!
Beispiel einer unstetigen Funktion
Was passiert, wenn die Funktion unstetig ist? Nehmen wir die Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn} , die im Nullpunkt unstetig ist:
Am Graphen kann man schon intuitiv erkennen, dass bei dem Argument 0 eine Unstetigkeitsstelle vorliegt. Hier schlägt auch unsere Visualisierungsmöglichkeit der Stetigkeit fehl. Wählt man ein \epsilon , welches kleiner als die Sprunghöhe ist (also ein \epsilon <1), dann gibt es kein \delta , so dass der Graph vollständig im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks verläuft. Wenn wir beispielsweise \epsilon ={\tfrac 12} wählen, dann gibt es für jedes noch so kleine \delta mindestens einen Funktionswert, der oberhalb bzw. unterhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegt:
error: galleries not implemented, yet!
Abhängigkeiten der Variablen
Stetigkeit
Wir betrachten die Stetigkeit einer Funktion f am Punkt x_{0}. Zunächst wird ein beliebiges \epsilon >0 vorgegeben. Nun muss ein \delta >0 gefunden werden, so dass der Graph von f eingeschränkt auf Argumente im Intervall (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ) komplett im Epsilon-Schlauch (f(x_{0})-\epsilon ,f(x_{0})+\epsilon ) liegt. Hierzu muss das \delta hinreichend klein gewählt werden. Wenn \delta zu groß ist, gibt es gegebenenfalls ein Argument x in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ), bei dem f(x) einen Abstand größer als \epsilon von f(x_{0}) aufweist:
error: galleries not implemented, yet!
Wie klein \delta gewählt werden muss, hängt von vielen Faktoren ab: Der betrachteten Funktion f, dem vorgegebenen \epsilon und dem Argument x_{0}. Je nach Funktionsverlauf muss ein anderes \delta gewählt werden. Im Allgemeinen muss auch bei einem kleineren \epsilon ein kleineres \delta gewählt werden. Dies zeigen die folgenden Diagramme. Hier ist die Quadratfunktion abgebildet, welche bei x_{0}=1 stetig ist. Bei einem kleineren \epsilon fällt die Wahl des \delta kleiner aus:
Abhängigkeit des δ vom ε: Im Allgemeinen muss δ kleiner gewählt werden, wenn ε kleiner ist. (Stephan Kulla: CC0)
Auch von der betrachteten Stelle hängt das \delta ab. Je stärker sich eine Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle ändert, desto kleiner muss \delta gewählt werden. In der folgenden Grafik ist der gefundene \delta -Wert zwar für x_{0} ausreichend klein, für x_{1} ist er jedoch zu groß:
In der Umgebung von x_{1} ändert sich die Funktion f stärker als in der Umgebung um x_{0}. Daher müssen wir das \delta für x_{1} kleiner wählen. Wir bezeichnen die \delta -Werte an den Punkten x_{0} und x_{1} entsprechend mit \delta _{0} und \delta _{1} und wählen \delta _{1} kleiner als vorher:
Wir haben gesehen, dass die Wahl von \delta von der betrachteten Funktion f, der betrachteten Stelle x_{0} und dem vorgegebenen \epsilon abhängt.
Unstetigkeit
Im Fall der Unstetigkeit ändern sich die Zusammenhänge der Variablen untereinander. Dies liegt daran, dass bei der Negation die Quantoren vertauscht werden. Um die Unstetigkeit zu zeigen, muss zunächst ein \epsilon >0 gefunden werden, bei dem für kein \delta >0 der Graph von f komplett im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks verläuft. Hierzu muss \epsilon hinreichend klein sein. Wenn beispielsweise die Unstetigkeit durch einen Sprung hervorgerufen wird, sollte \epsilon kleiner als die Sprunghöhe gewählt werden. Wenn \epsilon zu groß ist, gibt es gegebenenfalls ein \delta , so dass f im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegt:
error: galleries not implemented, yet!
Welches \epsilon gewählt werden muss, hängt vom Funktionsverlauf und der betrachteten Stelle x_{0} ab. Nachdem \epsilon gewählt wurde, wird \delta >0 beliebig vorgegeben. Nun muss es ein x zwischen den Zahlen x_{0}-\delta und x_{0}+\delta geben, so dass f(x) einen Abstand größer gleich \epsilon von f(x_{0}) aufweist. Der Punkt (x,f(x)) liegt also ober- bzw. unterhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks. Welches x gewählt werden muss, hängt von vielen Parametern ab: Von dem \epsilon und dem \delta , dem Funktionsverlauf und der betrachteten Unstetigkeitsstelle.
Beispielaufgaben
Stetigkeit
Übung: Stetigkeit einer linearen Funktion
Beweise, dass die lineare Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)={\tfrac 13}x stetig ist.
Wie komme ich auf den Beweis?error: non-centered image not implemented, yet!
Um die Stetigkeit von f zu beweisen, müssen wir die Stetigkeit an jedem Argument x_{0}\in \mathbb{R} beweisen. Sei also x_{0} eine beliebige reelle Zahl. Nun nehmen wir einen beliebigen Maximalfehler \epsilon >0 an. Unsere Aufgabe liegt jetzt darin, ein hinreichend kleines \delta >0 zu finden, so dass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle Argumente x mit |x-x_{0}|<\delta ist. Schauen wir uns hierzu die Ungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon genauer an:
Es muss also {\tfrac 13}|x-x_{0}|<\epsilon für alle x mit |x-x_{0}|<\delta gelten. Wie muss \delta gewählt werden, so dass aus |x-x_{0}|<\delta die Ungleichung {\tfrac 13}|x-x_{0}|<\epsilon folgt?
Nun können wir ausnutzen, dass in der Ungleichung {\tfrac 13}|x-x_{0}|<\epsilon der Betrag |x-x_{0}| vorkommt. Wegen |x-x_{0}|<\delta wissen wir, dass dieser Betrag kleiner als \delta ist. Dies können wir in den Term {\tfrac 13}|x-x_{0}| einsetzen:
Wenn wir \delta so geschickt wählen, dass {\tfrac 13}\delta \leq \epsilon ist, folgt aus {\tfrac 13}|x-x_{0}|<{\tfrac 13}\delta die zu zeigende Ungleichung {\tfrac 13}|x-x_{0}|<\epsilon . Durch Äquivalenzumformungen von {\tfrac 13}\delta \leq \epsilon können wir ein hinreichend kleines \delta finden:
Jedes \delta mit 0<\delta \leq 3\epsilon ist für den Beweis ausreichend. Für den finalen Beweis wählen wir \delta =3\epsilon .
Beweis
Sei f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)={\tfrac 13}x und sei x_{0}\in \mathbb{R} beliebig. Sei weiterhin \epsilon >0 beliebig. Wir wählen \delta =3\epsilon . Sei x\in \mathbb{R} mit |x-x_{0}|<\delta . Es ist:
Damit ist |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon , womit die Stetigkeit von f an der Stelle x_{0} bewiesen ist. Da x_{0}\in \mathbb{R} beliebig gewählt wurde, ist f stetig.
Unstetigkeit
Übung: Unstetigkeit der Vorzeichenfunktion
Beweise, dass die Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn} :\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit folgender Zuordnungsvorschrift unstetig ist:
Man sieht, dass die Funktion an der Nullstelle einen Sprung aufweist. Bei x_{0}=0 sollte sich also eine Unstetigkeitsstelle befinden. Nun müssen wir ein \epsilon >0 finden, für welches kein \delta >0 gefunden werden kann, so dass die Funktion komplett im 2\epsilon -2\delta -Rechteck liegt. Hier müssen wir \epsilon kleiner als die Sprunghöhe 1 wählen – zum Beispiel \epsilon ={\tfrac 12}. Egal welches \delta >0 wir nun vorgeben, es muss Funktionswerte unter- oder oberhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks geben.
Sei also \delta >0 beliebig. Wir müssen nun zeigen, dass es ein x mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gibt. Schauen wir uns zunächst die Ungleichung |x-x_{0}|<\delta an:
Das x muss damit so gewählt werden, dass |x|<\delta und |\operatorname{sgn}(x)|\geq {\tfrac 12} ist. Beginnen wir mit der zweiten Ungleichung |\operatorname{sgn}(x)|\geq {\tfrac 12}. Für x\neq 0 ist \operatorname{sgn}(x) entweder 1 oder -1. Für x\neq 0 gilt somit immer |\operatorname{sgn}(x)|=1\geq {\tfrac 12}.
Blicken wir nun auf die Ungleichung |x|<\delta . Wie wir gerade geschlossen haben, soll x\neq 0 sein. Dies ist zum Beispiel für alle x mit 0<x<\delta erfüllt. Wählen wir also für x den Mittelwert zwischen 0 und \delta mit x={\tfrac {0+\delta }{2}}={\tfrac \delta 2}.
Dies sehen wir auch in folgender Grafik. Hier haben wir das 2\epsilon -2\delta -Rechteck mit \epsilon ={\tfrac 12} und \delta ={\tfrac 12} eingetragen. Alle Punkte, die unter- oder oberhalb des Rechtecks liegen, sind rot markiert. Dies sind alle x im Intervall (-\delta ,\delta ) mit x\neq 0. Unsere Wahl x={\tfrac \delta 2} ist gesondert markiert und liegt oberhalb des Rechtecks:
Damit ist \operatorname{sgn} an der Stelle x_{0}=0 unstetig und somit insgesamt unstetig.
Zusammenhang mit dem Folgenkriterium
Es gibt zwei Definitionen der Stetigkeit: das Epsilon-Delta-Kriterium und das Folgenkriterium. Um zu zeigen, dass beide Definitionen das gleiche Konzept beschreiben, müssen wir beweisen, dass beide Kriterien äquivalent zueinander sind. Wenn das Folgenkriterium erfüllt ist, muss auch das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt sein und umgekehrt.
Satz: Das Epsilon-Delta-Kriterium impliziert das Folgenkriterium
Sei f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion. Wenn diese Funktion an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt, dann ist auch das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} erfüllt.
Wie komme ich auf den Beweis?
Nehmen wir an, dass die Funktion f:D\to \mathbb{R} an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Es gilt also:
Zu jedem \epsilon >0 gibt es ein \delta >0, sodass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle x\in D mit |x-x_{0}|<\delta ist.
Wir wollen nun zeigen, dass auch das Folgenkriterium erfüllt ist. Für jede Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit Grenzwert x_{0} soll also \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) gelten. Sei also (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Folge von Argumenten x_{n}\in D mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Wir müssen nun zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} gleich f(x_{0}) ist. Es soll also gelten:
Zu jedem \epsilon >0 gibt es ein N\in \mathbb{N} mit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N.
Sei \epsilon >0 beliebig. Wir müssen nun ein N\in \mathbb{N} finden, so dass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N erfüllt ist. Wir kennen die Ungleichung |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon aus der Konklusion des Epsilon-Delta-Kriteriums. Der Unterschied liegt darin, dass wir anstelle des Arguments x das Folgenglied x_{n} haben. Wenden wir also das Epsilon-Delta-Kriterium auf unseren speziellen Fall mit dem vorgegebenen \epsilon an. Wir erhalten:
Es gibt ein \delta >0, so dass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle Folgenglieder x_{n} mit |x_{n}-x_{0}|<\delta ist.
Wir kommen dem Ziel näher. Wenn ein Folgenglied x_{n} die Ungleichung |x_{n}-x_{0}|<\delta erfüllt, erfüllt es auch die Zielungleichung |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon . Nun wissen wir wegen \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}, dass |x_{n}-x_{0}| beliebig klein wird. Damit gibt es ein {\tilde N}\in \mathbb{N} , so dass |x_{n}-x_{0}|<\delta für alle n\geq {\tilde N} erfüllt ist. Dieses {\tilde N} können wir als unser N wählen. Ist nämlich n\geq N={\tilde N}, so ist |x_{n}-x_{0}|<\delta und damit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon nach dem Epsilon-Delta-Kriterium.
Beweis
Sei f:D\to \mathbb{R} eine Funktion, die an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Sei (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Folge mit x_{n}\in D für alle n\in \mathbb{N} und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Wir wollen zeigen, dass für beliebiges \epsilon >0 ein N\in \mathbb{N} existiert, sodass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N gilt.
Sei \epsilon >0 beliebig. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gibt es ein \delta >0, sodass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle x\in D mit |x-x_{0}|<\delta ist. Wegen der Konvergenz von (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gegen x_{0} können wir ein N\in \mathbb{N} finden, sodass |x_{n}-x_{0}|<\delta für alle n\geq N ist.
Sei n\geq N beliebig. Es ist damit |x_{n}-x_{0}|<\delta . Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gilt damit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon . Dies beweist \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) und damit das Folgenkriterium.
Satz: Das Folgenkriterium impliziert das Epsilon-Delta-Kriterium
Sei f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion. Wenn f an der Stelle x_{0}\in D das Folgenkriterium erfüllt, erfüllt sie auch das Epsilon-Delta-Kriterium.
Wie komme ich auf den Beweis?
Wir müssen folgende Implikation beweisen:
f{\text{ erfüllt Folgenkriterium in }}x_{0}\in D\implies f{\text{ erfüllt Epsilon-Delta-kriterium in }}x_{0}\in D
Wir beweisen diese Implikation über Kontraposition. Wir werden also zeigen, dass folgende Implikation gilt:
\neg \left(f{\text{ erfüllt Epsilon-Delta-Kriterium in }}x_{0}\in D\right)\implies \neg \left(f{\text{ erfüllt Folgenkriterium in }}x_{0}\in D\right)
Also:
f{\text{ erfüllt nicht das Epsilon-Delta-kriterium in }}x_{0}\in D\implies f{\text{ erfüllt nicht das Folgenkriterium in }}x_{0}\in D
Sei also f:D\to \mathbb{R} eine Funktion, die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle x_{0}\in D nicht erfüllt. Damit erfüllt f die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums an der Stelle x_{0}. Es existiert ein \epsilon >0, so dass es für jedes \delta >0 ein x\in D mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gibt. Wir müssen nun zeigen, dass das Folgenkriterium nicht erfüllt ist. Hierzu müssen wir eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten finden, so dass \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) ist.
Um die gesuchte Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} zu finden, müssen wir die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums geschickt nutzen. Hier wird uns ein \epsilon >0 vorgegeben, so dass für gewisse Argumente x die Ungleichung |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gilt. Wenn wir als Folgenglieder nur solche Argumente x verwenden, dann ist automatisch wegen dieser Ungleichung \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}).
Nun brauchen wir eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, die gegen x_{0} konvergiert. Hierzu suchen wir uns eine Nullfolge (\delta _{n})_{{n\in \mathbb{N} }}. Bespielsweise kann \delta _{n}={\tfrac 1n} gewählt werden. Für jedes \delta _{n} finden wir ein Argument x_{n} mit |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon . Aus diesen x_{n} bilden wir die gesuchte Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}. Diese erfüllt zum einen |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und wegen \lim _{{n\to \infty }}\delta _{n}=0 damit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Zum anderen kann wegen |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon die Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen f(x_{0}) konvergieren.
Beweis
Wir beweisen den Satz über Kontraposition. Hierzu müssen wir zeigen, dass eine Funktion f:D\to \mathbb{R} , die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle x_{0}\in D nicht erfüllt, auch das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} nicht erfüllt. Sei also f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion, die an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt. Es gibt also ein \epsilon >0, so dass für alle \delta >0 ein x\in D mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon existiert.
Für jedes \delta _{n}={\tfrac 1n} gibt es damit ein x_{n}\in D mit |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon . Aus der Ungleichung |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} folgt x_{0}-\delta _{n}\leq x_{n}\leq x_{0}+\delta _{n}. Da \lim _{{n\to \infty }}\delta _{n}=0 ist, ist sowohl \lim _{{n\to \infty }}x_{0}-\delta _{n}=x_{0} als auch \lim _{{n\to \infty }}x_{0}+\delta _{n}=x_{0}. Nach dem Sandwichsatz konvergiert damit die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gegen x_{0}.
Jedoch kann wegen |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon für alle n\in \mathbb{N} die Folge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen f(x_{0}) konvergieren. Damit ist das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} für die Funktion f nicht erfüllt. Es gibt nämlich eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}).
Übungsaufgaben
Quadratfunktion
Übung: Stetigkeit der Quadratfunktion
Beweise, dass die Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)=x^{2} stetig ist.
Wie komme ich auf den Beweis?
Für den Beweis müssen wir zeigen, dass die Quadratfunktion an jeder Stelle x_{0}\in \mathbb{R} stetig ist. Nach der allgemeinen Beweisstruktur des Epsilon-Delta-Kriteriums wird ein beliebiges \epsilon >0 vorgegeben. Wir müssen dann ein geeignetes \delta >0 finden, sodass die Ungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle |x-x_{0}|<\delta erfüllt ist.
Um ein geeignetes \delta zu finden, setzen wir zunächst in den Term |f(x)-f(x_{0})| die bekannte Funktionszuordnung f(x)=x^{2} ein:
|f(x)-f(x_{0})|=\left|x^{2}-x_{0}^{2}\right|
Den Term |x-x_{0}| können wir kontrollieren. Daher ist es sinnvoll, den Term \left|x^{2}-x_{0}^{2}\right| so umzuformen bzw. nach oben abzuschätzen, dass |x-x_{0}| auftaucht. Hierzu bietet sich die dritte binomische Formel an:
|x^{2}-x_{0}^{2}|=|x+x_{0}||x-x_{0}|
Aus unserer Voraussetzung, dass |x-x_{0}|<\delta gelten soll, können wir den Ausdruck nach oben abschätzen:
|x+x_{0}||x-x_{0}|<|x+x_{0}|\cdot \delta
Da das \delta , welches wir suchen, nur von \epsilon und x_{0} abhängen darf, stört uns die vorhandene Abhängigkeit von x in |x+x_{0}|\cdot \delta . Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, können wir den Faktor |x-x_{0}| geschickt nach oben abschätzen. Dabei verwenden wir einen unscheinbaren – aber häufig verwendeten – "Trick": Wir subtrahieren an geeigneter Stelle ein x_{0} und addieren es wieder, so dass der Term x-x_{0} entsteht:
Durch geschicktes Umformen und Abschätzen haben wir so erhalten:
|f(x)-f(x_{0})|<(\delta +2|x_{0}|)\cdot \delta
Mit dieser Ungleichung sind wir fast am Ziel. Wenn wir \delta so geschickt wählen, dass (\delta +2|x_{0}|)\cdot \delta \leq \epsilon ist, wird unsere Zielungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon erfüllt. So könnten wir die "Mitternachtsformel" bei der quadratischen Gleichung \delta ^{2}+2|x_{0}|\delta =\epsilon anwenden, um eine passende Wahl von \delta zu finden. Der Term (\delta +2|x_{0}|)\cdot \delta kann durch eine weitere Abschätzung jedoch vereinfacht werden. Hierzu können wir ausnutzen, dass wir beliebige Bedingungen an das \delta stellen können. So folgt aus der Bedingung \delta \leq 1, dass \delta +2|x_{0}|\leq 1+2|x_{0}| ist und damit gilt:
Somit führt auch (1+2|x_{0}|)\cdot \delta \leq \epsilon zum Ziel. Diese Ungleichung können wir umstellen, um eine zweite Bedingung für \delta zu finden (unsere erste Bedingung lautet \delta \leq 1):
Wir haben zwei Bedingungen für \delta gefunden: \delta \leq 1 und \delta \leq {\tfrac {\epsilon }{1+2|x_{0}|}}. Beide Bedingungen sind erfüllt für \delta :=\min \left\{1,{\tfrac {\epsilon }{1+2|x_{0}|}}\right\}. Diese Wahl treffen wir im finalen Beweis und führen die Abschätzungen so, wie wir sie gerade gefunden haben.
Beweis
Sei \epsilon >0 beliebig und sei \delta :=\min \left\{1,{\tfrac {\epsilon }{1+2|x_{0}|}}\right\}. Wenn \left|x-x_{0}\right|<\delta erfüllt ist, dann folgt:
Wir müssen zeigen, dass zu jedem \epsilon >0 ein \delta >0 existiert, so dass für alle x\in \mathbb{R} mit |x-x_{0}|<\delta die Ungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon erfüllt ist. Dabei ist bei uns x_{0}=1. Somit können wir über |x-1|<\delta den Term |x-1| kontrollieren. Zunächst können wir den Term |f(x)-f(x_{0})| der Zielungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon vereinfachen:
Unser Ziel ist es, durch Abschätzungen nach oben und Umformungen möglichst viele Ausdrücke |x-1| „herzustellen“, da wir diese wegen |x-1|<\delta abschätzen können. Die nächsten Schritte erfordern ein wenig Erfahrung mit Epsilon-Delta-Beweisen um „zu sehen“, wie man vorgehen sollte. Um die Betragsstriche innerhalb der äußeren Betrags loszuwerden, können wir die Ungleichung ||a|-|b||\leq |a-b| benutzen. Eine Möglichkeit ist folgende:
Nun wird der Term |x^{2}-3| für x\to 1 nicht mehr beliebig klein und somit ist unsere Abschätzung nicht zielführend. Besser ist es, wenn wir vor der Anwendung der Ungleichung ||a|-|b||\leq |a-b| die Gleichung 1=|-1| verwenden:
Da das \delta , welches wir suchen, nur von \epsilon und x_{0} abhängen darf, stört uns die vorhandene Abhängigkeit von x in 5|x+1|\cdot \delta . Dazu müssen wir den Ausdruck 5|x+1| geschickt nach oben abschätzen. Da wir nur ein bestimmtes \delta für unseren Beweis angeben müssen, um die Zielungleichung zu erhalten und beliebige Bedingungen an das \delta stellen zu können, setzen wir \delta \leq 1. Dies ist eine willkürliche Wahl (analog funktioniert auch \delta \leq 2 usw). Was ergibt sich nun aus dieser Festlegung?
Es muss weiterhin gelten: |x-1|<\delta . Wegen \delta \leq 1 folgt |x-1|<1. Damit gilt durch Umstellen der Ungleichung: x\in [1-1;1+1]. Es folgt somit 1+x\in [1;3] und damit |x+1|\leq 3:
Wir haben auf unserem Rechenweg zwei Bedingungen für das \delta gefunden (\delta \leq {\tfrac {\epsilon }{15}} und \delta \leq 1). Diese fassen wir zusammen durch: \delta =\min \left\{1,{\tfrac {\epsilon }{15}}\right\}. Damit können wir unseren Beweis aufschreiben.
Beweis
Sei \epsilon >0 beliebig und sei \delta =\min \left\{1,{\tfrac {\epsilon }{15}}\right\}. Sei x\in \mathbb{R} mit |x-1|<\delta . Dann folgt:
Beweisschritt: |x+1|\leq 3
Wegen \delta =\min \left\{1,{\tfrac {\epsilon }{15}}\right\} ist \delta \leq 1. Damit ist |x-1|\leq 1 und somit x\in [1-1;1+1]. Es folgt 1+x\in [1;3] und damit |x+1|\leq 3.
Damit ist die Funktion an der Stelle x_{0}=1 stetig.
Hyperbel
Übung: Stetigkeit der Hyperbelfunktion
Beweise, dass die Funktion f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} mit f(x)={\tfrac 1x} stetig ist.
Wie komme ich auf den Beweis?
Das grundlegende Muster bei Epsilon-Delta-Beweisen bleibt erhalten. Wir wollen die Implikation |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon zeigen. Als Erstes setzen wir das ein, was wir bereits wissen und formen etwas um:
Da die Wahl von unserem \delta nur von \epsilon und x_{0} abhängen darf, müssen wir in diesem Fall {\tfrac {1}{|x|}} geschickt abschätzen, um die Abhängigkeit von x zu eliminieren. Hierzu betrachten wir \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{2}}.
Wie kommen wir auf die Bedingung \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{2}}? Wir schieben an dieser Stelle eine kurze Erklärung ein, in der wir die Wahl \delta <{\tfrac {x_{0}}{2}} erklären: Wir benötigen eine \delta -Umgebung, die innerhalb des Defintionsbereichs unserer Funktion liegt. Hätten wir die Bedingung \delta \leq 1 gewählt und dabei den Punkt x_{0}={\tfrac 12} betrachtet, so würden wir auf folgendes Problem stoßen:
Der größte x-Wert mit \left|x-{\tfrac 12}\right|<1 ist x_{{{\mathrm {max}}}}={\tfrac 32} und der kleinste ist x_{{{\mathrm {min}}}}=-{\tfrac {1}{2}}. Jedoch liegt x_{{{\mathrm {min}}}} nicht im Definitionsbereich der Funktion f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} . Vor allem liegt x=0 in diesem Bereich, wo f(x)={\tfrac 1x} nicht definiert ist.
Eine geschickte Wahl des \delta , so dass die \delta -Umgebung die y-Achse nicht berührt, ist \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{2}}. Denkbar sind auch: \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{3}}, \delta <{\tfrac {x_{0}}{20}} oder \delta <{\tfrac {x_{0}}{5321}}.
Wegen \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{2}} und unserer Voraussetzung, dass |x-x_{0}|<\delta ist x\in \left[{\tfrac {x_{0}}{2}};{\tfrac {3x_{0}}{2}}\right]. Darüber kommen wir zur Abschätzung: {\tfrac {1}{|x|}}\leq {\tfrac {2}{|x_{0}|}}. Wir können nun schreiben:
Da wir |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon zeigen wollen, wählen wir \delta \leq {\tfrac {\epsilon \cdot |x_{0}|^{2}}{2}}. Einsetzen zeigt, dass wir dadurch die Zielungleichung |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon zeigen können.
In der ganzen Herleitung haben wir zwei Bedingungen für \delta gefunden: \delta \leq {\tfrac {x_{0}}{2}} und \delta \leq {\tfrac {\epsilon \cdot |x_{0}|^{2}}{2}}. Im Beweis setzen wir deswegen \delta =\min \left\{{\tfrac {x_{0}}{2}},{\tfrac {\epsilon \cdot |x_{0}|^{2}}{2}}\right\}, um beide Bedingungen zu erfüllen.
Beweis
Sei f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} mit f(x)={\tfrac 1x} und sei x_{0}\in \mathbb{R} ^{+} beliebig. Sei außerdem \epsilon >0 beliebig. Wähle \delta :=\min \left\{{\tfrac {x_{0}}{2}},{\tfrac {\epsilon \cdot |x_{0}|^{2}}{2}}\right\}. Für alle x\in \mathbb{R} mit |x-x_{0}|<\delta gilt:
Wir müssen zeigen, dass für jedes \epsilon >0 ein \delta >0 existiert, so dass alle x\in \mathbb{R} mit |x-a|<\delta die Ungleichung |f(x)-f(a)|<\epsilon erfüllen. Hierzu betrachten wir zunächst die Zielungleichung |f(x)-f(a)|<\epsilon und schätzen den Betrag |f(x)-f(a)| geschickt nach oben ab. Da wir den Term |x-a| kontrollieren können, schätzen wir |f(x)-f(a)| so nach oben ab, dass wir den Betrag |x-a| erhalten. Wir suchen also eine Ungleichung der Form
|f(x)-f(a)|\leq K(x,a)\cdot |x-a|
Dabei ist K(x,a) irgendein von x und a abhängiger Term. Der zweite Faktor ist kleiner als \delta und kann damit durch eine geschickte Wahl von \delta beliebig klein gemacht werden. Eine solche Abschätzung ist folgende:
Wenn wir \delta so klein wählen, dass K(x,a)\cdot \delta \leq \epsilon ist, folgt die Zielungleichung |f(x)-f(a)|\leq \epsilon . Jedoch hängt K(x,a) von x ab und diese Abhängigkeit würde sich auf \delta vererben und wir dürfen \delta nicht in Abhängigkeit von x wählen. Deswegen müssen wir die Abhängigkeit des ersten Faktors von x eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir den ersten Faktor nach oben so abschätzen, dass wir eine Ungleichung der Form K(x,a)\leq {\tilde K}(a) erreichen. Eine solche Umformung ist:
Wir haben sogar {\tilde K}(a) unabhängig von a gemacht, was nicht nötig gewesen wäre. Somit haben wir die Ungleichung
|f(x)-f(a)|\leq 2\cdot |x-a|<2\cdot \delta
Wir brauchen nun die Abschätzung 2\cdot \delta \leq \epsilon , damit die Zielungleichung |f(x)-f(a)|<\epsilon erfüllt ist. Die Wahl von \delta ={\tfrac {\epsilon }{2}} ist hierfür ausreichend.
Beweis
Sei f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)={\sqrt {5+x^{2}}}. Sei a\in \mathbb{R} und \epsilon >0 beliebig. Wir wählen \delta ={\tfrac {\epsilon }{2}}. Für alle x\in \mathbb{R} mit |x-a|<\delta gilt:
Bei dieser Aufgabe soll die Unstetigkeit einer Funktion gezeigt werden. Wir betrachten hierzu die Negation des Epsilon-Delta-Kriteriums. Unser Ziel ist es sowohl ein \epsilon >0, als auch ein x\in \mathbb{R} so zu wählen, dass |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon ist. Dabei darf x in Abhänigigkeit von \delta gewählt werden, während \epsilon unabhängig für alle \delta >0 sein muss. Für eine Lösung können wir folgendermaßen vorgehen:
Beweisschritt: Zielungleichungen vereinfachen
Zunächst können wir beide Ungleichungen, die erfüllt sein müssen, umschreiben, denn in unserem Fall ist x_{0}=0 und f(x_{0})=0. Dadurch können wir schreiben: |x|<\delta und |f(x)|\geq \epsilon .
Beweisschritt: Wahl eines geeigneten \epsilon >0
Wir betrachten nun den Graphen der Funktion f – dieser hilft uns nämlich unsere „Beweisbausteine“ zu finden:
Wir müssen ein \epsilon >0 finden, so dass es stets Funktionswerte im Bereich (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )=(-\delta ,\delta ) gibt, die einen Abstand größer gleich \epsilon von f(x_{0})=f(0)=0 haben – egal wie klein \delta ist. Sprich: Egal, welches \delta wir wählen, es gibt immer Punkte die oberhalb oder unterhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegen.
In der Grafik erkennen wir, dass die Funktion in der Nähe des Nullpunkts unendlich oft zwischen -1 und 1 oszilliert. Damit bietet sich ein \epsilon \leq 1 an. Dann gibt es nämlich immer Funktionswerte in jeder noch so kleinen Umgebung von der Null mit |f(x)|\geq 1. Wir wählen \epsilon ={\tfrac 12}. In der folgenden Grafik ist dies illustriert:
Die topologische Sinusfunktion oszilliert in der Nähe des Nullpunkts zwischen -1 und 1 und damit gibt es in jeder Umgebung von der Null Argumente x wo der Abstand von f(x) zur Null größer gleich 1/2. (Stephan Kulla: CC0)
Im Beweis müssen wir nach der Wahl von \epsilon das \delta beliebig größer Null wählen. Das machen wir dann auch.
Beweisschritt: Wahl eines geeigneten x\in \mathbb{R}
Wir haben \epsilon ={\tfrac 12} gesetzt. Es muss nun gelten \left|\sin \left({\tfrac 1x}\right)\right|\geq {\tfrac 12}. Damit diese Bedingung erfüllt ist, können wir solche x mit \sin \left({\tfrac 1x}\right)=1 wählen. Nun ist \sin(a)=1 genau dann, wenn a={\tfrac \pi 2}+2k\pi für ein k\in \mathbb{Z} ist. Für die gesuchten x gilt also:
Damit haben wir verschiedene x gefunden, für die |f(x)|\geq \epsilon gilt. Jetzt muss noch die erste Bedingung |x|<\delta beachtet werden. Unsere x hängen von k ab. Wir müssen ein geeignetes k mit k\in \mathbb{Z} finden, so dass |x|<\delta erfüllt ist. Setzen wir also in diese Ungleichung |x|<\delta die gefundene Gleichung x={\tfrac {1}{{\tfrac \pi 2}+2k\pi }} ein und stellen sie nach k um:
Dies liefert den Ausdruck k>{\tfrac {1}{2\pi }}\left({\tfrac 1\delta }-{\tfrac \pi 2}\right). Wählen wir also eine natürliche Zahl k, die größer als {\tfrac {1}{2\pi }}\left({\tfrac 1\delta }-{\tfrac \pi 2}\right) ist, so ist |x|<\delta erfüllt. Ein solches k muss nach dem archimedischen Axiom existieren. Wählen wir ein solches k und definieren damit das x über x={\tfrac {1}{{\tfrac \pi 2}+2k\pi }}, haben wir sowohl |x|<\delta als auch |f(x)|\geq \epsilon gegeben. Damit sind alle Bausteine für den Beweis gefunden und dieser muss nur noch sauber aufgeschrieben werden.
Beweis
Wähle \epsilon ={\tfrac 12} und sei \delta >0 beliebig. Wähle eine natürliche Zahl k, so dass k>{\tfrac {1}{2\pi }}\left({\tfrac 1\delta }-{\tfrac \pi 2}\right). Eine solche natürliche Zahl k muss nach dem Archimedischen Axiom existieren. Weiter sei x={\tfrac {1}{{\frac \pi 2}+2k\pi }}. So gilt:
