Diese Rechnung ergibt intuitiv Sinn: Wenn {\tfrac 1n}\to 0, dann sollte \exp \left({\tfrac 1n}\right)\to \exp(0) sein. Doch können wir so argumentieren? Ist es erlaubt, den Limes in die Funktion reinzuziehen? Betrachte hierzu die Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn}(x), welche das Vorzeichen von x zurückgibt:
Also ist \lim _{{n\to \infty }}\operatorname{sgn} \left({\tfrac 1n}\right)\neq \operatorname{sgn} \left(\lim _{{n\to \infty }}{\tfrac 1n}\right). Dies zeigt, dass man den Limes nicht ohne Weiteres in eine Funktion hineinziehen kann. Im Funktionsplot sieht man, warum dies bei \exp(x), jedoch nicht bei \operatorname{sgn}(x) möglich ist. Bei \exp(x) konvergiert nämlich die Folge \left(\exp \left({\tfrac 1n}\right)\right)_{{n\in \mathbb{N} }} gegen \exp(0), wenn n\to \infty geht:
Bei der Vorzeichenfunktion gibt es einen Sprung im Graphen bei x=0, und deswegen konvergiert die Folge \left(\operatorname{sgn} \left({\tfrac 1n}\right)\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen \operatorname{sgn}(0):
Wir stellen fest: Es gibt Funktionen, bei denen der Limes hineingezogen werden kann, und Funktionen, bei denen es nicht (immer) geht.
Sprungstellen und Stetigkeit
Wir erkennen, dass wir deswegen den Limes nicht in \operatorname{sgn} \left({\tfrac 1n}\right) hineinziehen können, weil der Graph der Vorzeichenfunktion an der Stelle x=0 „einen Sprung macht“. Wir überlegen uns nun, warum das Hineinziehen des Limes nicht möglich ist, wenn der Graph beim Grenzwert der Argumentenfolge einen Sprung macht. Nehmen wir an, dass f folgenden Graphen besitzt:
Graph der Funktion f mit einem Sprung an der Stelle x0, wobei der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x0 existiert. (Mktyscn: Public domain)
Wenn wir uns von links an x_{0} annähern, dann nähern sich die Funktionswerte auch an f(x_{0}) an. Wenn also die Argumentenfolge fast ausschließlich (sprich: bis auf endlich viele Ausnahmen) nur aus reellen Zahlen kleiner gleich x_{0} besteht, können wir den Limes hineinziehen. Dies schlägt jedoch fehl, wenn in der Argumentenfolge unendlich viele Zahlen größer als x_{0} auftreten. Ihre Funktionswerte nähern sich nämlich nicht f(x_{0}) an, weil der Graph bei x_{0} in die rechte Richtung einen Sprung macht. Durch den Sprung gibt es einen Mindestabstand, den die Funktionswerte in der Nähe und rechts von x_{0} nicht unterschreiten. Der Sprung der Funktion an der Stelle x_{0} verhindert, dass bei jeder Argumentenfolge der Limes hineingezogen werden kann.
Ähnliches passiert, wenn der Graph bei x_{0} in die linke Richtung einen Sprung besitzt:
Graph der Funktion f mit einem Sprung an der Stelle x0, wobei der linksseitige Grenzwert an der Stelle x0 existiert. (Mktyscn: Public domain)
Hier schlägt das Hineinziehen des Limes fehl, wenn die Argumentenfolge unendlich viele Zahlen kleiner als x_{0} besitzt. Die Funktionswerte links von x_{0} nähern sich aufgrund des Sprungs nämlich nicht f(x_{0}) an.
Im Übrigen ist die Situation eine andere, wenn f an der Sprungstelle nicht definiert ist:
Hier ergibt der Ausdruck f\left(\lim _{{n\to \infty }}x_{n}\right) keinen Sinn, weil die Funktion an der Stelle x_{0} nicht definiert ist. Deswegen müssen wir nicht betrachten, ob dort der Limes hineingezogen werden kann. An allen anderen Stellen ist der Graph von f kontinuierlich und damit stetig. Wir sehen: Ein Sprung macht nur dann eine Funkion unstetig, wenn die Funktion an der Sprungstelle definiert ist.
Übergang zur formalen Definition
Nehmen wir eine Funktion f mit Sprungstelle im Punkt x_{0}. Wenn man sich dem Argument x_{0} von der einen Seite nähert, wird ein gewisser Abstand zwischen f(x) und f(x_{0}) nie unterschritten. Dieser Mindestabstand zwischen f(x) und f(x_{0}) wurde durch den Sprung an der Stelle x_{0} verursacht. Wenn man sich von der anderen Seite an x_{0} nähert, gehen die f(x)-Werte beliebig nah an f(x_{0}) heran (vorausgesetzt, dass hier keine zweite Sprungstelle vorliegt).
Für x-Werte, die beliebig
(=„unendlich“) nahe
an x_{0} herankommen sollen, können wir den Folgenbegriff verwenden. Dafür beschreiben wir die x-Werte als Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, die gegen x_{0} konvergiert. Die Verwendung des Folgenbegriffs ist auch deswegen sinnvoll, weil wir für die Annäherung oft unendlich viele x-Werte benötigen und Folgen ebenfalls unendlich viele Glieder besitzen.
Gehen wir nun davon aus, dass wir uns von der Seite x_{0} nähern, bei der unsere f(x_{n}) gegenüber f(x_{0}) einen gewissen Mindestabstand in der Nähe von x_{0} nicht unterschreiten. Dieser bleibt auch im Limes \lim _{{n\to \infty }} erhalten. Falls \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n}) existiert, so wissen wir damit sicher, dass \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) ist.
Nun haben wir nur die Annäherung von der Seite betrachtet, wo f(x_{n}) nicht gegen f(x_{0}) strebt. In unseren Beispielen können wir jedoch die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} so wählen, dass \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) ist. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn unsere x_{n} von der anderen Seite an x_{0} streben. Damit \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) erfüllt ist, können wir unsere gegen x_{0} konvergierende Folge also nicht beliebig wählen. Jedoch existiert zumindest eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, für die f(x_{n}) nicht gegen f(x_{0}) strebt.
Herleitung des Folgenkriteriums
Fassen wir das bisher Gefundene zusammen:
Wenn eine Funktion f:D\to \mathbb{R} an der Stelle x\in D einen Sprung besitzt, gibt es mindestens eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x).
Sprich: Im Fall eines Sprungs an der Stelle x\in D gilt \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x)=f\left(\lim _{{n\to \infty }}x_{n}\right) für mindestens eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten mit Grenzwert x. Nun ist nach unserer Intuition eine Funktion genau dann unstetig an einer Stelle, wenn ihr Graph dort einen Sprung macht. Wir können also definieren:
Der Graph einer Funktion f:D\to \mathbb{R} ist unstetig an der Stelle x\in D, wenn es mindestens eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x) gibt.
Um die Definition der Stetigkeit an einer Stelle zu finden, müssen wir die Negation der obigen Aussage nehmen. Nach dieser Überlegung können wir uns die Stetigkeit an einer Stelle als Abwesenheit eines Sprungs an der betrachteten Stelle vorstellen, und wir erhalten:
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} ist an der Stelle x\in D stetig, wenn für alle Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} aus D mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x gilt:
Bei Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle kann der Limes hineingezogen werden, wenn die Argumentenfolge gegen diese Stelle konvergiert. Diese Definition der Stetigkeit ist das Folgenkriterium der Stetigkeit. Nun ist eine Funktion genau dann stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitonsbereichs stetig ist. Damit erhalten wir für die Stetigkeit einer Funktion:
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} ist stetig, wenn für alle konvergenten Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gilt \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(\lim _{{n\to \infty }}x_{n}). Dabei müssen alle Folgenglieder x_{n} und der Grenzwert \lim _{{n\to \infty }}x_{n} Elemente des Definitionsbereiches D von f sein, damit die Gleichung \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f\left(\lim _{{n\to \infty }}x_{n}\right) Sinn ergibt.
Wir können zusammenfassen: Bei einer stetigen Funktion kann man den Limes in die Funktion hineinziehen – unabhängig vom Grenzwert der Argumentenfolge. Weil beispielsweise die Exponentialfunktion stetig ist, kann man immer den Limes in diese Funktion hineinziehen. Die Vorzeichenfunktion ist bei x=0 unstetig, und damit kann der Limes nicht in die Funktion gezogen werden, wenn die Argumentenfolge gegen null konvergiert.
Definition
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Im obigen Abschnitt haben wir bereits die Definition der Stetigkeit kennengelernt. Hier haben wir festgelegt:
Definition: Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} ist stetig an der Stelle x_{0}\in D, wenn für alle Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt:
Darauf aufbauend haben wir definiert, dass eine Funktion stetig ist, wenn sie an jeder Stelle stetig ist:
Definition: Folgenkriterium der Stetigkeit
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} ist stetig, wenn für allex\in D und für alle Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x gilt:
Stetigkeit garantiert uns also, dass wir den Limes in die Funktion hineinziehen können. Dies kann die Grenzwertberechnung ungemein vereinfachen, und somit ist Stetigkeit ein Konzept, auf das man bei Grenzwertberechnungen stößt.
Auswirkungen der Definition
Wir haben über unsere Vorstellung von Sprungstellen eine formale Definition von Stetigkeit gefunden. Diese hat sich im Laufe der Zeit als sinnvoll herausgestellt und wird in der mathematischen Community als Definition der Stetigkeit akzeptiert. Deswegen werden auch wir sie im Folgenden heranziehen. Somit ist die Grundlage für Entscheidungen, ob eine Funktion stetig ist, nicht
mehr unsere Intuition – sondern das von uns gefundene Folgenkriterium. Dies hat gewisse Nebeneffekte. Betrachte die topologische Sinusfunktion:
Bei dieser Funktion ist man sich intuitiv nicht sicher, ob sie an der Stelle x=0 stetig ist, denn in der Nähe davon schwingt die Funktion immer stärker. Schaut man sich den Graphen an, so sieht es (für mich) nicht nach einer gewöhnlichen Sprungstelle aus. Wenn wir aber unser Folgenkriterium der Stetigkeit heranziehen, können wir zeigen, dass die topologische Sinusfunktion an der Nullstelle trotzdem unstetig ist (Übungsaufgabe).
Als Nebenprodukt unserer Definition haben wir also neben der Sprungstelle eine andere Art der Unstetigkeit erhalten. Im Englischen wird sie essential discontinuity
genannt. Diese werden bzw. müssen wir akzeptieren, sofern wir das Folgenkriterium als die Definition der Stetigkeit benutzen wollen. Es sei erwähnt, dass dies eine der Standarddefinitionen ist und wir mit einer Ablehnung wohl ziemlich einsam und verloren in der Welt der Mathematik wären.
Beispiel für das Folgenkriterium
Quadratfunktion ist stetig
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Übung: Stetigkeit der Quadratfunktion
Zeige, dass die Quadratfunktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} :x\mapsto x^{2} stetig ist.
Beweis
Sei f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} :x\mapsto x^{2}. Wir betrachten nun eine beliebige Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, die gegen x konvergiert. Es ist
Bei der Quadratfunktion kann der Limes also immer hineingezogen werden, womit diese Funktion stetig ist.
Anwendung des Folgenkriteriums
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Nachdem wir bewiesen haben, dass die Quadratfunktion stetig ist, können wir immer den Limes in diese Funktion hineinziehen, ohne großartig darüber nachdenken zu müssen. Dies ist das Schöne an der Stetigkeit, wie es folgende Beispielaufgabe zeigt:
Wir können die bewiesene Stetigkeit der Quadratfunktion ausnutzen, indem wir den Limes in die Quadratfunktion hineinziehen. Nach dem Folgenkriterium können wir dies machen. Damit erhalten wir:
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Um die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x_{0} zu beweisen, müssen wir zeigen, dass für jede Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt, dass \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) ist. Dementsprechend könnte ein Beweis lauten:
Sei f:\ldots eine Funktion mit f(x)=\ldots und sei x_{0}=\ldots gegeben. Sei (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine beliebige Folge von Argumenten mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Es gilt:
\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=\ldots =f(x_{0})
Um die Stetigkeit der Funktion f zu beweisen, muss das Beweisschema etwas angepasst werden:
Sei f:\ldots eine Funktion mit f(x)=\ldots und sei x_{0}eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich von f
. Sei (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine beliebige Folge von Argumenten mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Es gilt:
\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=\ldots =f(x_{0})
Unstetigkeitsbeweise mit dem Folgenkriterium
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Um mit dem Folgenkriterium zu zeigen, dass eine Funktion f:D\to \mathbb{R} an der Stelle x_{0}\in D unstetig ist, muss man eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}\in D für alle n\in \mathbb{N} und dem Grenzwert x_{0} finden, so dass die Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen f(x_{0}) konvergiert. Es soll also \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) gelten. Für \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) gibt es zwei Möglichkeiten:
Die Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} divergiert.
Die Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} konvergiert, jedoch ist ihr Grenzwert ungleich f(x_{0}).
Ein Unstetigkeitsbeweis über das Folgenkriterium könnte zum Beispiel folgende Form aufweisen:
Sei f:\ldots eine Funktion mit f(x)=\ldots . Diese Funktion ist unstetig an der Stelle x_{0}=\ldots . Wählen wir nämlich die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}=\ldots , so liegen alle Folgenglieder im Definitionsbereich von f, und wir haben
\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=\ldots =x_{0}
Jedoch ist \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}). Es ist nämlich ...Beweis, dass \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} divergiert oder dass der Grenzwert von \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} ungleich f(x_{0}) ist
...
Zusammenhang zum Epsilon-Delta-Kriterium
Es gibt zwei Definitionen der Stetigkeit: das Epsilon-Delta-Kriterium und das Folgenkriterium. Um zu zeigen, dass beide Definitionen das gleiche Konzept beschreiben, müssen wir beweisen, dass beide Kriterien äquivalent zueinander sind. Wenn das Folgenkriterium erfüllt ist, muss auch das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt sein und umgekehrt.
Satz: Das Epsilon-Delta-Kriterium impliziert das Folgenkriterium
Sei f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion. Wenn diese Funktion an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt, dann ist auch das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} erfüllt.
Wie komme ich auf den Beweis?
Nehmen wir an, dass die Funktion f:D\to \mathbb{R} an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Es gilt also:
Zu jedem \epsilon >0 gibt es ein \delta >0, sodass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle x\in D mit |x-x_{0}|<\delta ist.
Wir wollen nun zeigen, dass auch das Folgenkriterium erfüllt ist. Für jede Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit Grenzwert x_{0} soll also \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) gelten. Sei also (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Folge von Argumenten x_{n}\in D mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Wir müssen nun zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} gleich f(x_{0}) ist. Es soll also gelten:
Zu jedem \epsilon >0 gibt es ein N\in \mathbb{N} mit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N.
Sei \epsilon >0 beliebig. Wir müssen nun ein N\in \mathbb{N} finden, so dass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N erfüllt ist. Wir kennen die Ungleichung |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon aus der Konklusion des Epsilon-Delta-Kriteriums. Der Unterschied liegt darin, dass wir anstelle des Arguments x das Folgenglied x_{n} haben. Wenden wir also das Epsilon-Delta-Kriterium auf unseren speziellen Fall mit dem vorgegebenen \epsilon an. Wir erhalten:
Es gibt ein \delta >0, so dass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle Folgenglieder x_{n} mit |x_{n}-x_{0}|<\delta ist.
Wir kommen dem Ziel näher. Wenn ein Folgenglied x_{n} die Ungleichung |x_{n}-x_{0}|<\delta erfüllt, erfüllt es auch die Zielungleichung |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon . Nun wissen wir wegen \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}, dass |x_{n}-x_{0}| beliebig klein wird. Damit gibt es ein {\tilde N}\in \mathbb{N} , so dass |x_{n}-x_{0}|<\delta für alle n\geq {\tilde N} erfüllt ist. Dieses {\tilde N} können wir als unser N wählen. Ist nämlich n\geq N={\tilde N}, so ist |x_{n}-x_{0}|<\delta und damit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon nach dem Epsilon-Delta-Kriterium.
Beweis
Sei f:D\to \mathbb{R} eine Funktion, die an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt. Sei (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Folge mit x_{n}\in D für alle n\in \mathbb{N} und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Wir wollen zeigen, dass für beliebiges \epsilon >0 ein N\in \mathbb{N} existiert, sodass |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon für alle n\geq N gilt.
Sei \epsilon >0 beliebig. Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gibt es ein \delta >0, sodass |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon für alle x\in D mit |x-x_{0}|<\delta ist. Wegen der Konvergenz von (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gegen x_{0} können wir ein N\in \mathbb{N} finden, sodass |x_{n}-x_{0}|<\delta für alle n\geq N ist.
Sei n\geq N beliebig. Es ist damit |x_{n}-x_{0}|<\delta . Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium gilt damit |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon . Dies beweist \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x_{0}) und damit das Folgenkriterium.
Satz: Das Folgenkriterium impliziert das Epsilon-Delta-Kriterium
Sei f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion. Wenn f an der Stelle x_{0}\in D das Folgenkriterium erfüllt, erfüllt sie auch das Epsilon-Delta-Kriterium.
Wie komme ich auf den Beweis?
Wir müssen folgende Implikation beweisen:
f{\text{ erfüllt Folgenkriterium in }}x_{0}\in D\implies f{\text{ erfüllt Epsilon-Delta-kriterium in }}x_{0}\in D
Wir beweisen diese Implikation über Kontraposition. Wir werden also zeigen, dass folgende Implikation gilt:
\neg \left(f{\text{ erfüllt Epsilon-Delta-Kriterium in }}x_{0}\in D\right)\implies \neg \left(f{\text{ erfüllt Folgenkriterium in }}x_{0}\in D\right)
Also:
f{\text{ erfüllt nicht das Epsilon-Delta-kriterium in }}x_{0}\in D\implies f{\text{ erfüllt nicht das Folgenkriterium in }}x_{0}\in D
Sei also f:D\to \mathbb{R} eine Funktion, die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle x_{0}\in D nicht erfüllt. Damit erfüllt f die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums an der Stelle x_{0}. Es existiert ein \epsilon >0, so dass es für jedes \delta >0 ein x\in D mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gibt. Wir müssen nun zeigen, dass das Folgenkriterium nicht erfüllt ist. Hierzu müssen wir eine Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} von Argumenten finden, so dass \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}) ist.
Um die gesuchte Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} zu finden, müssen wir die Unstetigkeitsversion des Epsilon-Delta-Kriteriums geschickt nutzen. Hier wird uns ein \epsilon >0 vorgegeben, so dass für gewisse Argumente x die Ungleichung |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon gilt. Wenn wir als Folgenglieder nur solche Argumente x verwenden, dann ist automatisch wegen dieser Ungleichung \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}).
Nun brauchen wir eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}, die gegen x_{0} konvergiert. Hierzu suchen wir uns eine Nullfolge (\delta _{n})_{{n\in \mathbb{N} }}. Bespielsweise kann \delta _{n}={\tfrac 1n} gewählt werden. Für jedes \delta _{n} finden wir ein Argument x_{n} mit |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon . Aus diesen x_{n} bilden wir die gesuchte Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}. Diese erfüllt zum einen |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und wegen \lim _{{n\to \infty }}\delta _{n}=0 damit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Zum anderen kann wegen |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon die Funktionswertfolge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen f(x_{0}) konvergieren.
Beweis
Wir beweisen den Satz über Kontraposition. Hierzu müssen wir zeigen, dass eine Funktion f:D\to \mathbb{R} , die das Epsilon-Delta-Kriterium an der Stelle x_{0}\in D nicht erfüllt, auch das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} nicht erfüllt. Sei also f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} eine Funktion, die an der Stelle x_{0}\in D das Epsilon-Delta-Kriterium nicht erfüllt. Es gibt also ein \epsilon >0, so dass für alle \delta >0 ein x\in D mit |x-x_{0}|<\delta und |f(x)-f(x_{0})|\geq \epsilon existiert.
Für jedes \delta _{n}={\tfrac 1n} gibt es damit ein x_{n}\in D mit |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} und |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon . Aus der Ungleichung |x_{n}-x_{0}|<\delta _{n} folgt x_{0}-\delta _{n}\leq x_{n}\leq x_{0}+\delta _{n}. Da \lim _{{n\to \infty }}\delta _{n}=0 ist, ist sowohl \lim _{{n\to \infty }}x_{0}-\delta _{n}=x_{0} als auch \lim _{{n\to \infty }}x_{0}+\delta _{n}=x_{0}. Nach dem Sandwichsatz konvergiert damit die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gegen x_{0}.
Jedoch kann wegen |f(x_{n})-f(x_{0})|\geq \epsilon für alle n\in \mathbb{N} die Folge \left(f(x_{n})\right)_{{n\in \mathbb{N} }} nicht gegen f(x_{0}) konvergieren. Damit ist das Folgenkriterium an der Stelle x_{0} für die Funktion f nicht erfüllt. Es gibt nämlich eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(x_{0}).
Übungsaufgaben
Stetigkeit der Betragsfunktion
Übung: Stetigkeit der Betragsfunktion
Beweise die Stetigkeit der Betragsfunktion.
Beweis
Sei f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)=|x| die Betragsfunktion. Sei x_{0}\in \mathbb{R} eine beliebige Zahl und sei (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Folge reeller Zahlen mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0}. Im Kapitel error: internal links not implemented, yet!
haben wir die Betragsregel bewiesen. Diese besagt, dass \lim _{{n\to \infty }}|x_{n}|=|x_{0}| ist, wenn \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} ist. Also haben wir:
Damit f eine unstetige Funktion ist, muss sie mindestens eine Unstetigkeitkeitsstelle besitzen. Für jedes x\neq 0 entspricht f in einer hinreichend kleinen Umgebung von x der Funktion \sin \left({\tfrac 1x}\right). Da die Funktion \sin \left({\tfrac 1x}\right) als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, muss auch f für alle x\neq 0 stetig sein. Damit muss die Unstetigkeitsstelle bei x=0 liegen.
Um mit dem Folgenkriterium zu zeigen, dass f an der Stelle x=0 unstetig ist, müssen wir eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=0 und \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})\neq f(0) finden. Um diese Argumentenfolge zu finden, schauen wir uns zunächst den Graphen der Funktion f an:
In der Graphik sehen wir, dass die Funktion f in jeder Umgebung des Nullpunkts jeden Wert zwischen -1 und 1 beliebig oft annimmt. Also können wir (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} so wählen, dass f(x_{n}) immer gleich 1 ist. Dann ist nämlich garantiert, dass \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=1\neq 0=f(0) ist. Dabei wählen wir x_{n} so, dass x_{n} von oben gegen Null konvergiert.
In der folgenden Graphik sind neben dem Graphen von f auch die Funktionswerte der Folge x_{n} eingetragen. Man sieht, dass für x_{n}\to 0 die Funktionswerte gegen 1 konvergieren, was ungleich dem Funktionswert f(0)=0 ist:
Graph der topologischen Sinusfunktion f zusammen mit den Funktionswerten derjenigen Argumentenfolge, die von rechts gegen 0 geht und deren Bilder stets 1 sind. (Stephan Kulla: CC0)
Wie lauten die Werte für x_{n}? Formen wir hierzu die Gleichung f(x)=1 nach x um:
Für alle x={\tfrac {1}{{\frac \pi 2}+2k\pi }} mit k\in \mathbb{Z} gilt also f(x)=1. Damit unsere Argumente x_{n} positiv sind und von oben gegen Null konvergieren, wählen wir x_{n}={\tfrac {1}{{\frac \pi 2}+2n\pi }}. Es gilt dann:
Jedoch haben wir gesehen, dass \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=1\neq 0=f(0) ist. Wir haben also eine Argumentenfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gefunden, welche die Unstetigkeit von f an der Stelle x=0 beweist.
Beweis
Sei f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x)=\sin \left({\tfrac 1x}\right) für x\neq 0 und f(0)=0. Wir betrachten die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}={\tfrac {1}{{\frac \pi 2}+2n\pi }}. Für diese Folge ist:
Damit ist \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=1\neq 0=f(0), obwohl \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=0 ist. Dies beweist, dass f an der Stelle x=0 und somit auch insgesamt unstetig ist.
