Die geometrische Reihe hat die Form \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}. Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkritierien wie das Quotienten- oder das Wurzelkriterium beweisen.
Geometrische Summenformel
error: non-centered image not implemented, yet!Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Wenn du mehr über die geometrische Summenformel wissen möchtest, dann schau im Kapitel error: internal links not implemented, yet!
vorbei. Dort findest du auch einen Beweis der geometrischen Summenformel mit vollständiger Induktion. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:
Satz: Geometrische Summenformel
Für alle reellen q\neq 1 und für alle n\in \mathbb{N} _{0} ist:
\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}
Beweis
Es ist
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{beide Seiten mit }}q{\text{ multiplizieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ q\cdot \sum _{{k=0}}^{n}q^{k}&=\ q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{{n+1}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{{k=0}}^{n}q^{k}-q\cdot \sum _{{k=0}}^{n}q^{k}&=\ (1+q+\dotsb +q^{n})-(q+q^{2}+\dotsb +q^{{n+1}})\\[0.5em]&=1-q^{{n+1}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{links }}\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}{\text{ ausklammern}}\right.}\\[0.5em]\implies \ (1-q)\cdot \sum _{{k=0}}^{n}q^{k}&=\ 1-q^{{n+1}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac 1{1-q}}{\text{, da }}q\neq 1\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{{k=0}}^{n}q^{k}&=\ {\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}\\[0.5em]\end{aligned}}
Geometrische Reihe
error: non-centered image not implemented, yet! error: non-centered image not implemented, yet!Wir betrachten zwei Fälle: |q|<1{\text{ und }}|q|\geq 1.
Fall |q|<1
Kommen wir zur geometrischen Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}. Wir betrachten zunächst den Fall |q|<1 und damit q\neq 1, da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Geometrische Summenformel }}(q\neq 1)\right.}\\[1em]&=\left({\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}\end{aligned}}
Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge \left({\tfrac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn \left(q^{n}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass \left(q^{n}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} gegen 0 konvergiert, wenn |q|<1 ist, und gegen 1 konvergiert, wenn q=1 ist. Den Fall q=1 haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:
Wenn |q|<1 ist, dann konvergiert die geometrische Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}.
Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für |q|<1:
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}&=\lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}\\[0.3em]&=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.3em]&={\frac {1-\lim _{{n\to \infty }}q^{{n+1}}}{1-q}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ |q|<1\right.}\\[0.3em]&={\frac {1-0}{1-q}}\\[0.3em]&={\frac {1}{1-q}}\end{aligned}}
Alternativ lässt sich die Konvergenz der geometrischen Reihe für |q|<1 auch direkt mit der Definition beweisen.
Übung: Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe
Zeige, dass die geometrische Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k} für |q|<1 gegen {\tfrac {1}{1-q}} konvergiert.
Wie komme ich auf den Beweis?
Wir müssen zeigen, dass es zu jedem \epsilon >0 ein N\in \mathbb{N} gibt, so dass
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Mit der geometrischen Summenformel gilt nun
\left|\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}-{\frac 1{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}-{\frac 1{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{{n+1}}-1}{1-q}}\right|=\left|{\frac {q^{{n+1}}}{1-q}}\right|={\frac {1}{1-q}}\cdot |q^{{n+1}}|
Da die geometrische Folge (q^{n})_{{n\in \mathbb{N} }} für |q|<1 gegen Null konvergiert, gilt dies auch für (q^{{n+1}})_{{n\in \mathbb{N} }}. Also gibt es zu jedem {\tilde \epsilon }>0 ein {\tilde N}\in \mathbb{N} mit
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Weil {\frac 1{1-q}} konstant ist, gibt es auch ein N\in \mathbb{N} mit
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Damit folgt die Behauptung.
Beweis
Sei \epsilon >0 gegeben. Die geometrische Folge (q^{n})_{{n\in \mathbb{N} }} konvergiert für |q|<1 gegen null. Wegen |q|<1 gibt es für {\tilde \epsilon }:=(1-q)\cdot \epsilon >0 ein N\in \mathbb{N} mit
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Mit der geometrischen Summenformel folgt dann für alle n\geq N
{\begin{aligned}&\left|\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}-{\frac 1{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}-{\frac 1{1-q}}\right|\\[0.3em]=\ &{\frac 1{1-q}}\cdot |q^{{n+1}}|\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ n+1\geq N\right.}\\[0.3em]<\ &{\frac 1{1-q}}\cdot {\tilde \epsilon }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde \epsilon }=(1-q)\cdot \epsilon \right.}\\[0.3em]=\ &{\frac 1{1-q}}\cdot (1-q)\cdot \epsilon =\epsilon \end{aligned}}
Somit folgt für den Grenzwert der Reihe: \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\frac 1{1-q}}.
Fall |q|\geq 1
Bei |q|\geq 1 gilt für alle k\in \mathbb{N} _{0}, dass \left|q^{k}\right|\geq 1. Also ist die Folge \left(q^{k}\right)_{{k\in \mathbb{N} _{0}}} keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k} nach dem sogenannten error: internal links not implemented, yet!
, das wir später noch genauer betrachten.
Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives q, also q\geq 1. So folgt für alle k\in \mathbb{N} {\text{, dass }}q^{k}\geq 1. Damit können wir die Partialsummen abschätzen: \sum _{{k=1}}^{n}q^{k}\geq \sum _{{k=1}}^{n}1=n Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge (n)_{{n\in \mathbb{N} }} nach unten beschränkt. Da (n)_{{n\in \mathbb{N} }} divergiert, divergiert auch die Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k} als Folge der Partialsummen.
Zusammenfassung
Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für |q|>1, q=-1 und q=1 divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung |q|\geq 1 zusammenfassen. Für den Fall |q|<1 konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert {\tfrac {1}{1-q}}:
Satz: Geometrische Reihe
Die geometrische Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k} konvergiert genau dann, wenn |q|<1 ist. Sie hat dann den Wert {\tfrac {1}{1-q}}:
\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\begin{cases}{\frac {1}{1-q}}&;|q|<1\\{\text{divergent}}&;|q|\geq 1\end{cases}}
Beispiel
Für q={\tfrac 12}, q=-{\tfrac 12} und q=2 gilt
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac 12}\right)^{k}&=1+{\frac 12}+{\frac 14}+{\frac 18}+{\frac 1{16}}+\ldots ={\frac {1}{1-{\frac 12}}}={\frac {1}{{\frac 12}}}=2\\[1em]\sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac 12}\right)^{k}&=1-{\frac 12}+{\frac 14}-{\frac 18}+{\frac 1{16}}-\ldots ={\frac {1}{1+{\frac 12}}}={\frac {1}{{\frac 32}}}={\frac 23}\\[1em]\sum _{{k=0}}^{\infty }2^{k}&=1+2+4+8+16+\ldots \ {\text{ divergiert}}\end{aligned}}
Beispielaufgaben
Beispielaufgabe 1
Beispiele geometrischer Reihen
Berechne die Grenzwerte folgender Reihen:
Übung 1: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}
Übung 2: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {2^{k}}{3^{k}}}
Übung 3: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-2)^{k}}{3^{k}}}
Übung 4: \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}
Übung 5: \sum _{{k=4}}^{\infty }{\frac {1}{3^{{k-2}}}}
Lösung:
Lösung von Teilaufgabe 1:{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1^{k}}{3^{k}}}\\[0.5em]&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac 13}}}={\frac {1}{{\frac 23}}}={\frac 32}\right.}\\[0.5em]&={\frac 32}\end{aligned}}
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {2^{k}}{3^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac 23}}}={\frac {1}{{\frac 13}}}=3\right.}\\[0.5em]&=3\end{aligned}}
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-2)^{k}}{3^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac {2}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac {2}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-(-{\frac 23})}}={\frac {1}{1+{\frac 23}}}={\frac {1}{{\frac 53}}}={\frac 35}\right.}\\[0.5em]&={\frac 35}\end{aligned}}
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Lösung von Teilaufgabe 5: Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\right)-{\frac {1}{2^{0}}}\\[0.5em]&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)-1\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac 12}}}=2\right.}\\[0.5em]&=2-1=1\end{aligned}}
Bei dieser Reihe führen wir zunächst eine Indexverschiebung durch und formen anschließend um:
{\begin{aligned}\sum _{{k=4}}^{\infty }{\frac {1}{3^{{k-2}}}}&{\underset {{\text{schiebung}}}{{\overset {{\text{Indexver-}}}{=}}}}\left(\sum _{{k=2}}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}\right)\\[0.5em]&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}\right)-{\frac {1}{3^{0}}}-{\frac {1}{3^{1}}}\\[0.5em]&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\right)-1-{\frac 13}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac 13}}}={\frac 32}\right.}\\[0.5em]&={\frac 32}-1-{\frac 13}\\[0.5em]&={\frac 12}-{\frac 13}\\[0.5em]&={\frac 36}-{\frac 26}={\frac 16}\end{aligned}}
Beispielaufgabe 2
Sonderfälle geometrischer Reihen
Seien M,N\in \mathbb{N} mit N\geq 2 und M<N. Finde Formeln für die geometrischen Reihen
Übung 1: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac 1{N^{k}}} und \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{N^{k}}}
Übung 2: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}} und \sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}
Übung 3: \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {M^{k}}{N^{k}}} und \sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{N^{k}}}
Lösung:
Lösung von Teilaufgabe 1:{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{N^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac 1N}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac 1N}}}={\frac {1}{{\frac {N-1}N}}}={\frac {N}{N-1}}\end{aligned}}
und
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac {1}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac 1N}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac 1N}}}={\frac {1}{{\frac {N+1}N}}}={\frac {N}{N+1}}\end{aligned}}
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {M}{M+1}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac {M}{M+1}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac {M}{M+1}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{M+1}}}}=M+1\end{aligned}}
und
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac {M}{M+1}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac {M}{M+1}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac {M}{M+1}}}}={\frac {1}{{\frac {2M+1}{M+1}}}}={\frac {M+1}{2M+1}}\end{aligned}}
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {M^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {M}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac {M}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac {M}{N}}}}={\frac {1}{{\frac {N-M}{N}}}}={\frac {N}{N-M}}\end{aligned}}
und
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }\left(-{\frac {M}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac {M}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac {M}{N}}}}={\frac {1}{{\frac {N+M}{N}}}}={\frac {N}{N+M}}\end{aligned}}
Beispielaufgabe 3
Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe
Sei q\in \mathbb{R} mit |q|<1. Bestimme eine Formel für jede der folgenden drei Reihen
Übung 1: \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k}
Übung 2: \sum _{{k=2}}^{\infty }q^{k}
Übung 3: \sum _{{k=m}}^{\infty }q^{k} für m\in \mathbb{N}
Lösung:
Lösung von Teilaufgabe 1:{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}\right)-q^{0}\\[0.5em]&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}\right)-1\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-1\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q}{1-q}}\end{aligned}}
{\begin{aligned}\sum _{{k=2}}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}\right)-q^{0}-q^{1}\\[0.5em]&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}\right)-1-q\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-1-q\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q}{1-q}}-{\frac {q(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q)-q(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-1+q-q+q^{2}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q^{2}}{1-q}}\end{aligned}}
Für |q|<1 und m\in \mathbb{N} gilt
{\begin{aligned}\sum _{{k=m}}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}\right)-\sum _{{k=0}}^{{m-1}}q^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}{\text{ und }}\sum _{{k=0}}^{{m-1}}q^{k}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q^{m}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q^{m})}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-1+q^{m}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q^{m}}{1-q}}\end{aligned}}
Beispielaufgabe 4
Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind
Löse folgende drei Aufgaben:
Übung 1: Zeige für alle reellen q\neq 1 und n\in \mathbb{N} die Gleichung \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}={\frac {1-(n+2)q^{{n+1}}+(n+1)q^{{n+2}}}{(1-q)^{2}}}.
Übung 2: Zeige für alle q\in \mathbb{R} mit |q|<1 die Gleichung \sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)q^{k}={\frac {1}{(1-q)^{2}}}.
Übung 3: Berechne die Reihen \sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {k+1}{2^{k}}} und \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}.
Lösung:
Lösung von Teilaufgabe 1:Die Aussage ist für alle q\in \mathbb{R} und n\in \mathbb{N} äquivalent zu
(1-q)^{2}\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}=1-(n+2)q^{{n+1}}+(n+1)q^{{n+2}}
Die linke Seite lässt sich nun wie folgt in die rechte umrechnen:
{\begin{aligned}(1-q)^{2}\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}&=(1-2q+q^{2})\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=(1-q-(q-q^{2}))\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=(1-q)\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}-(q-q^{2})\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}-\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{{k+1}}-\left[\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{{k+1}}-\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{{k+2}}\right]\\[0.5em]&={\color {OliveGreen}1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\ldots +nq^{{n-1}}+(n+1)q^{n}}\\[0.5em]&\quad {\color {Red}-q-2q^{2}-3q^{3}-\ldots -(n-1)q^{{n-1}}-nq^{n}-(n+1)q^{{n+1}}}\\[0.5em]&\quad -\left[{\color {OliveGreen}q+2q^{2}+3q^{3}+\ldots +(n-1)q^{{n-1}}+nq^{n}+(n+1)q^{{n+1}}}\right.\\[0.5em]&\qquad \left.{\color {Red}-q^{2}-2q^{3}-\ldots -(n-2)q^{{n-1}}-(n-1)q^{n}-nq^{{n+1}}-(n+1)q^{{n+2}}}\right]\\[0.5em]&=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{{n-1}}+q^{n}-(n+1)q^{{n+1}}\\[0.5em]&\quad -[q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{{n-1}}+q^{n}+q^{{n+1}}-(n+1)q^{{n+2}}]\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[0.5em]&=1-(n+2)q^{{n+1}}+(n+1)q^{{n+2}}\end{aligned}}
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hatten wir \lim _{{n\to \infty }}nq^{n}=0 für |q|<1 gezeigt. Aus den Grenzwertregeln folgt damit \lim _{{n\to \infty }}nq^{{n+1}}=q\cdot \lim _{{n\to \infty }}nq^{{n}}=0 und \lim _{{n\to \infty }}(n+1)q^{{n+2}}=0. Daher ist
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)q^{k}&=\lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1-(n+2)q^{{n+1}}+(n+1)q^{{n+2}}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1-\lim _{{n\to \infty }}(n+2)q^{{n+1}}+\lim _{{n\to \infty }}(n+1)q^{{n+2}}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1-0+0}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-q)^{2}}}\end{aligned}}
Mit der Formel aus Teilaufgabe 2 ergibt sich mit q={\tfrac 12}:
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {k+1}{2^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac 12})^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{({\frac 12})^{2}}}={\frac {1}{{\frac 14}}}=4\end{aligned}}
Weiter gilt mit q={\tfrac 12}:
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}&{\underset {{\text{schiebung}}}{{\overset {{\text{Indexver-}}}{=}}}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{{k+1}}\\[0.5em]&=\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\frac {1}{2}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{(1-{\frac 12})^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{2}}=2\end{aligned}}
Lösung: Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 1
Die zu zeigende Gleichung können wir direkt rekonstruieren, indem wir wie beim Beweis der geometrischen Summelformel vorgehen: Es gilt
\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}=\ 1+2q+3q^{2}+4q^{3}+5q^{4}+\ldots +nq^{{n-1}}+(n+1)q^{n}
Indem wir beide Seiten mit q multiplizieren, erhalten wir
q\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}=\ q+2q^{2}+3q^{3}+4q^{4}+5q^{5}+\ldots +nq^{n}+(n+1)q^{{n+1}}
Nun können wir die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren
{\begin{aligned}\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}-q\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}&=(1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\ldots +nq^{{n-1}}+(n+1)q^{n})\\[0.5em]&\quad -(q+2q^{2}+3q^{3}+4q^{4}+\ldots +nq^{n}+(n+1)q^{{n+1}})\\[0.5em]&=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{{n-1}}+q^{n}-(n+1)q^{{n+1}}\\[0.5em]\end{aligned}}
Jetzt klammern wir auf der linken Seite \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k} aus.
{\begin{aligned}(1-q)\cdot \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{{n-1}}+q^{n}-(n+1)q^{{n+1}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac 1{1-q}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{{k=0}}^{n}(k+1)q^{k}&=\ {\frac {1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{{n-1}}+q^{n}-(n+1)q^{{n+1}}}{1-q}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{mit }}1-q{\text{ erweitern und ausmultiplizieren}}\right.}\\[0.5em]&=\ {\frac {1-(n+2)q^{{n+1}}+(n+1)q^{{n+2}}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]\end{aligned}}
Lösung: Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 3
Wir rechnen:
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}&=\sum _{{k=0}}^{\infty }k\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&=\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1-1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Reihen }}\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\text{ und }}\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\text{ konvergieren}}\right.}\\[0.5em]&=\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}-\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2 mit }}q={\tfrac 12}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac 12})^{2}}}-\sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac 12})^{2}}}-{\frac {1}{1-{\frac 12}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{{\frac 14}}}-{\frac {1}{{\frac 12}}}=4-2=2\end{aligned}}
Hinweis:
Genau wie in Teilaufgabe 3 lässt sich allgemein für |q|<1 zeigen:
\sum _{{k=1}}^{\infty }kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}