Die gleichmäßige Stetigkeit ist eine stärkere Form der Stetigkeit. Sie leitet sich aus dem Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit ab und spielt insbesondere bei der Approximation von Funktionen eine wichtige Rolle.

Die gleichmäßige Stetigkeit baut auf dem Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit auf, weshalb wir dieses zunächst wiederholen:

In jeden noch so kleinen Epsilon-Schlauch um f(x_{0}) liegen alle Funktionswerte einer hinreichend kleinen Umgebung um x_{0}. Ein Epsilon-Schlauch ist ein Bereich f(x_{0})-\epsilon bis f(x_{0})+\epsilon mit \epsilon >0 um f(x_{0}):

Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} ist genau dann an der Stelle x_{0}\in D stetig, wenn es für jeden noch so kleinen Epsilon-Schlauch ein \delta >0 gibt, so dass alle Funktionswerte von f im Bereich von x_{0}-\delta bis x_{0}+\delta in diesen Epsilon-Schlauch liegen:

Dieses \delta kann dabei sowohl von der vorgegebenen Funktion f, dem Wert \epsilon , als auch von der betrachteten Stelle x_{0} abhängen. Die nächste Grafik zeigt ein Beispiel, bei dem der gefundene \delta -Wert zwar für x_{0} klein genug, für x_{1} jedoch zu groß ist:

Daher müssen wir das \delta nahe dem Punkt x_{1} kleiner wählen und bezeichnen die \delta -Werte an den Punkten x_{0} und x_{1} entsprechend mit \delta _{0} und \delta _{1}. Wir sehen, dass das \delta in der Definition der Stetigkeit von der betrachteten Stelle x abhängen kann. Dies ist in nachfolgender Grafik illustriert:

Das Epsilon-Delta-Kriterium garantiert uns so die Approximierbarkeit einer stetigen Funktion f:D\to \mathbb{R} . Für jeden Maximalfehler \epsilon >0 und jede betrachtete Stützstelle {\tilde x} finden wir ein \delta _{{{\tilde x}}}>0, so dass sich der Funktionswert f(x) für jedes Argument x im Deltabereich ({\tilde x}-\delta ,{\tilde x}+\delta ) von f({\tilde x}) um maximal \epsilon >0 unterscheidet. Für jedes Argument x mit {\tilde x}-\delta <x<{\tilde x}+\delta kann f({\tilde x}) als Annäherung von f(x) mit einem maximalen Fehler von \epsilon verwendet werden. Folgende Abbildung illustriert dies für einige eingezeichnete Stellen x_{i}:

Jedoch hängen die gefundenen \delta _{{{\tilde x}}}-Werte von der betrachteten Stelle {\tilde x} ab. Deswegen sind die Rechtecke in der obigen Grafik auch unterschiedlich groß. Um eine gleichmäßigere Approximation zu erhalten, können wir zusätzlich fordern, dass alle Rechtecke in der Approximation gleich groß sein sollen. D.h. der \delta _{{{\tilde x}}}-Wert soll für jedes {\tilde x} gleich sein. Obige Abbildung sähe dann wie folgt aus:

Dies ist die Kernidee der gleichmäßigen Stetigkeit. Bei ihr findet man für ein vorgegebenes \epsilon >0 ein globales \delta >0, so dass egal welche Stelle {\tilde x}\in D man betrachtet, jeder Funktionswert f(x) aus dem Delta-Bereich ({\tilde x}-\delta ,{\tilde x}+\delta ) einen Abstand kleiner als \epsilon von f({\tilde x}) besitzt. Damit erhalten wir folgende Definition der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion f:D\to \mathbb{R} , welche eine gleichmäßige Approximierbarkeit ermöglicht:

Damit können wir die formale Definition der gleichmäßigen Stetigkeit wie folgt aufschreiben:

Anders formuliert heißt dies, dass es zu jedem \epsilon >0 ein \delta >0 gibt, so dass alle Paare x,{\tilde x}\in D mit |x-{\tilde x}|<\delta die Ungleichung |f(x)-f({\tilde x})|<\epsilon erfüllen.

Die kommentierte Variante der Quantorenschreibweise lautet:

Vergleicht man die Epsilon-Delta-Definition der gleichmäßigen und der normalen Stetigkeit in Quantorenschreibweise, so fällt auf, dass zwei Quantoren vertauscht sind:

Das beruht darauf, dass bei der gleichmäßigen Stetigkeit das gefundene \delta ein globales Delta ist, welches unabhängig von der Stelle {\tilde x}\in D ist. Um diese Unabhängigkeit auszudrücken, muss der Existenzquantor „\exists \delta >0“ vor dem Allquantor „\forall {\tilde x}\in D“ für die Stützstellen erscheinen.

Durch schrittweise Negation der Quantorenschreibweise erhalten wir die Definition der nicht gleichmäßigen Stetigkeit:

Also:

Die gleichmäßige Stetigkeit ist eine globale Eigenschaft einer Funktion. Dies bedeutet, dass es nur Sinn ergibt, die gleichmäßige Stetigkeit für eine Funktion als Ganzes zu betrachten. Im Gegensatz dazu ist die normale Stetigkeit eine lokale Eigenschaft. Es ist möglich, die Stetigkeit einer Funktion an nur einer Stelle zu betrachten bzw. zu definieren. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist dies unmöglich.

Diese Tatsache ergibt sich aus der Definition: Bei der gleichmäßigen Stetigkeit finden wir ein globales \delta >0, dessen Delta-Bereich um jede Stützstelle für eine ausreichende Approximation sorgt. Für eine einzelne Stelle ergibt es keinen Sinn zu sagen, dass das gefundene Delta eine globale Gültigkeit hat. Man braucht hier nur eines zu finden.

Um das Epsilon-Delta-Kriterium zu visualisieren, zeichnen wir um den betrachteten Punkt (x_{0},f(x_{0})) ein Rechteck mit der Höhe 2\epsilon und der Breite 2\delta . Um das Epsilon-Delta-Kriterium zu erfüllen, muss der Graph komplett im Inneren, aber nie direkt ober- oder unterhalb des Rechtecks verlaufen:

Nehmen wir als Beispiel die Quadratfunktion und betrachten die Stelle x_{0}=1. Egal wie klein \epsilon vorgegeben ist, wir finden stets ein \delta , so dass der Graph komplett im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegt:

Wenn im Gegenzug die Funktion wie beim Beispiel der Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn}(x) unstetig ist, so finden wir ein \epsilon >0, bei dem der Graph stets Werte direkt ober- oder unterhalb des Rechtecks besitzt – egal wie klein \delta gewählt wird. Bei der Vorzeichenfunktion im Punkt x_{0}=0 ist dies zum Beispiel bei der Wahl \epsilon ={\tfrac 12} der Fall:

Bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist das \delta unabhängig von der betrachteten Stelle. Damit muss der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verlaufen, egal mit welchen Punkt des Graphen als Mittelpunkt man es betrachtet. Sprich: Für jedes \epsilon >0 muss es ein \delta >0 geben, so dass man das 2\epsilon -2\delta -Rechteck beliebig am kompletten Graphen entlang verschieben kann, ohne dass es Funktionswerte direkt ober- bzw. unterhalb des Rechtecks gibt:

Bei einer nicht gleichmäßig stetigen Funktion ist dies nicht möglich. Nehmen wir als Gegenbeispiel die Quadratfunktion. Für ein beliebiges \epsilon >0 können wir kein \delta >0 setzen, so dass der Graph überall komplett im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks verläuft, egal wo wir dieses Rechteck ansetzen. Zwar kann bei x-Werten in der Nähe der Null der Graph im Inneren des Rechtecks liegen, weil sich dort die Quadratfunktion wenig ändert, aber je mehr wir das Rechteck nach rechts verschieben, desto stärker ist der Anstieg der Quadratfunktion. Irgendwann ist dieser so stark, dass Funktionswerte direkt oberhalb bzw. unterhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegen. Damit ist die Quadratfunktion ein Beispiel einer stetigen Funktion, die nicht gleichmäßig stetig ist:

In Quantorenschreibweise lautet die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

Aus dieser Aussage kann ein Schema zum Beweis der gleichmäßigen Stetigkeit abgeleitet werden:

In Prädikatenlogik lautet die Definition einer nicht gleichmäßig stetigen Funktion f:

Daraus ergibt sich ein Schema für den Beweis, dass eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist:

Die gleichmäßige Stetigkeit ist eine Verschärfung der normalen Stetigkeit. Dies bedeutet, dass jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig ist. Die Umkehrung gilt aber nicht. Es gibt stetige Funktionen wie die Quadratfunktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} :x\mapsto x^{2}, die nicht gleichmäßig stetig sind. Also:

Wie wir gesehen haben, ist jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig. Die Umkehrung dessen gilt jedoch nicht, weshalb wir als Beispiel nochmals die Quadratfunktion betrachten:

Wie wir im Abschnitt Visualisierung bereits gesehen haben, können wir für ein beliebiges \epsilon >0 kein festes \delta >0 setzen, so dass der Graph überall komplett im Inneren des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks verläuft, egal wo wir dieses Rechteck ansetzen. Je weiter wir das Rechteck nach rechts verschieben, desto stärker der Anstieg der Quadratfunktion, so dass Funktionswerte direkt oberhalb bzw. unterhalb des 2\epsilon -2\delta -Rechtecks liegen.

Die können wir auch anhand der Epsilon-Delta-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit sehen: \forall \epsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall {\tilde x}\in \mathbb{R} \,\forall x\in \mathbb{R} :|x-{\tilde x}|<\delta \implies |f(x)-f({\tilde x})|<\epsilon . Wir wollen die Negation dieser Aussage beweisen und wollen somit zeigen: \exists \epsilon >0\,\forall \delta >0\,\exists {\tilde x}\in \mathbb{R} \,\exists x\in \mathbb{R} :|x-{\tilde x}|<\delta und |f(x)-f({\tilde x})|\geq \epsilon . Betrachten wir \epsilon =1 und nehmen wir an es gäbe ein \delta >0, sodass |x_{1}^{2}-x_{0}^{2}|<\epsilon für alle reellen Zahlen x_{0},x_{1}\in \mathbb{R} mit |x_{1}-x_{0}|<\delta gelte. Betrachten wir nun ein x_{0}(\delta )>0 welches wir später festlegen werden. Wir nehmen die Zahlen x_{0} und x_{1}:=x_{0}+{\frac \delta 2}. Nun gilt per Konstruktion |x_{1}-x_{0}|={\frac \delta 2}<\delta .

Wir werden nun zeigen, dass |x_{1}^{2}-x_{0}^{2}|\geq \epsilon gilt.

Somit gilt weiter

Wählen wir nun x_{0}\geq {\frac 1\delta } so können garantieren, dass |x_{1}^{2}-x_{0}^{2}|\geq 1=\epsilon . Somit haben wir gezeigt, dass

nicht gleichmäßig stetig ist.

Wie wir gesehen haben, ist nicht jede stetige Funktion auch gleichmäßig stetig. Dies trifft jedoch zu, wenn wir den Definitionsbereich einer stetigen Funktion auf ein abgeschlossenes, kompaktes Intervall [a,b] einschränken: