Wir haben eine beliebige Funktion f. Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Frage, wie sich f in der Nähe eines Punktes x_{0}, oder im Unendlichen verhält. Strebt f gegen einen bestimmten Wert, wenn wir uns auf der x-Achse x_{0} nähern, beziehungsweise immer weiter ins Unendliche wandern?
Wir betrachten drei Beispielfunktionen im Nullpunkt:
Erstes Beispiel
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,f(x)=\exp(x)
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Egal wie wir uns auf der x-Achse x_{0}=0 nähern, f(x) strebt gegen 1.
Hier ist es nicht so einfach. von links strebt f gegen -1, von rechts gegen 1. Binden wir gar x_{0}=0 selbst mit ein, so kann f zwischen -1 und 0 bzw zwischen 1 und 0 hin und her springen.
Anwendungsbeispiele
TODO: Unterabschnitte hervorheben (Wie?)
Grenzwerte im Unendllichen: Um das Blitzlicht von Kameras zu zünden, werden Kondensatoren innerhalb von Sekundenbruchteilen entladen. Physikalisch lässt sich die Entladung des Kondensator beschreiben über V(t)=V_{0}\cdot e^{{-{\frac {t}{R\cdot C}}}}. Entladungskurve des Kondensators (Ktims: Public domain)
Für positive Startspannung V_{0} ist dabei egal, wie groß wir unsere Zeit t wählen: Es gilt V(t)>0, insbesondere V(t)\neq 0. Wie können wir mathematisch ausdrücken, dass sich Spannung und damit auch Ladung des Kondensators tatsächlich der 0 annähern? Dafür müssen wir \lim _{{t\to \infty }}V(t), den Grenzwert von V im Unendlichen, untersuchen.
x_{0} als reelle Zahl:
In der Schule wird oft die Fläche unter einem Funktionsgraphen auf dem Intervall [a,b] über den Flächeninhalt von gleich breiten Rechtecken angenähert.
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Je feiner die Rechtecke, desto genauer ist der angenäherte Flächeninhalt. Schreiben wir \Delta x für die Breite eines Rechtecks und betrachten eine Funktion f, so ergibt sich die Fläche eines Rechtecks als Breite mal Höhe. Dabei ist die Höhe nichts anderes als der Funktionswert von f an dem Rand eines Rechtecks. Wir erhalten für eine Rechteckbreite \Delta x den ungefähren Flächeninhalt von f auf dem Intervall [a,b] als: g(\Delta x)=\sum _{{i}}^{{}}\Delta x*f(a+i*\Delta x), sofern wir die Summationsgrenzen für den Laufindex i passend formulieren. Die Funktion g können wir allerdings nur für Argumente \Delta x>0 sinnvoll berechnen und angeben, da wir keine Rechtecke mit Breite \leq 0 kennen. Wir haben also die Berechnung des Integrals als ein Problem formuliert, bei dem wir den Grenzwert von g in x_{0}=0 suchen.
Übergang zur Mathematik
Wie betrachten wir als Menschen, was die Funktion in der Nähe eines Punktes macht? Zur Schulzeit hat es oft ausgereicht, einfach ein paar Werte in der Nähe von x_{0} einzusetzen, um ein Muster zu erkennen. Wir werden dies nun formal umsetzen:
Wir betrachten error: internal links not implemented, yet!
(x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} und setzen die Folgenglieder x_{n} in f ein. Da sie sich x_{0} nähern sollen, betrachten wir nur solche Folgen, für die \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt. Es wäre z.B. unsinnig, das Streben von f im Punkt x_{0}=1 zu betrachten, aber als Testwerte 10,100,1000,... einzusetzen.
Bei jedem Einsetzen eines jeden x_{n}'s betrachten wir den Funktionswert f(x_{n}). Wir erhalten die Folge (f(x_{n}))_{{n\in \mathbb{N} }}. Ob f nun in x_{0} gegen einen Wert strebt, können wir also als Frage nach der Existenz von \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n}) formulieren.
Nun haben wir noch nicht darüber gesprochen, wie viele solche Folgen wir in f einsetzen müssen. Reicht es, wenn wir nur eine Folge untersuchen?
TODO: Gif ohne anklicken lesbar machen und erstes Gif als dauer schleife laufen lassen
Dazu betrachten wir folgendes Beispiel:
Die Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn} :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\operatorname{sgn}(x)={\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}
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Nehmen wir die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}={\frac {1}{n}} und setzen sie in \operatorname{sgn} ein, so erhalten wir immer \operatorname{sgn}(x_{n})=1. Betrachten wir nur diese eine Folge, so würden wir vermuten, dass \operatorname{sgn} in x_{0}=0 gegen den Wert 1 strebt. Nehmen wir die Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}=-{\frac {1}{n}}, so gilt allerdings immer \operatorname{sgn}(x_{n})=-1 und wir sehen nun auch mathematisch, dass \operatorname{sgn} in x_{0}=0 keinen eindeutigen Grenzwert hat. Es reicht also nicht, eine Folge zu betrachten. Stattdessen muss sich die Funktion für alle Folgen gleich verhalten, damit wir von einem Grenzwert sprechen können.
Definition: über Folgen
Definition: Grenzwert von Funktionen
Sei f\colon D\to \mathbb{R} eine Funktion mit D\subseteq \mathbb{R} , a\in \mathbb{R} und x_{0}\in {\overline {D}}. fhat in x_{0} den Grenzwert a
, wenn für jede Folge (x_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt: \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=a. Ist dies der Fall, so schreiben wir \lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=a
Sei f\colon D\to \mathbb{R} eine Funktion mit D\subseteq \mathbb{R} und a\in \mathbb{R} . fhat im Unendichen den Grenzwert a
, wenn für jede Folge (x_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=\infty gilt: \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=a. Ist dies der Fall, so schreiben wir \lim _{{x\to \infty }}f(x)=a
Kurzer Nachtrag zur Definition über Folgen
Als letzten Feinschliff mussten wir noch beachten, dass der Ausdruck f(x_{n}) nur sinnvoll ist, falls x_{n} im Definitionsbereich von f liegt. Deshalb fordern wir \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D. Auch sollten wir f nur in Punkten x_{0} untersuchen, an die wir uns tatsächlich annähern können. Ist f z.B. nur auf D=[0,1) definiert, so ist es uns nicht möglich zu erfahren, was f in der Umgebung von x_{0}=5 macht. Was allerdings möglich ist, ist nach einem Streben von f im Punkt x_{0}=1 zu fragen. Unsere x_{0} müssen also in {\overline {D}}, dem Abschluss von D liegen.
Definition: über Epsilon Delta (Andere Person)
Spielraum bei der Definition
Dieser Abschnitt existiert, weil verschiedene Autoren und verschiedene Lehrbücher unterschiedliche Definitionen benutzen. Es kann gut sein, dass du in der Vorlesung nicht die Definition aus diesem Artikel gelernt hast, sondern eine der folgenden Variationen.
Es gibt die Möglichkeit, statt x_{0}\in {\overline {D}} nur x_{0}\in D zu erlauben.
Unabhängig von der ersten Entscheidung hat man die Möglichkeit, die betrachteten Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} noch weiter einzuschränken. Wollen wir das Verhalten von f in der Nähe
von x_{0}\in D betrachten, so können wir darüber diskutieren, ob es erlaubt ist, x_{0} selbst als Wert "nahe an x_{0}" in f einzusetzen. Manche Autoren legen deshalb fest:
Für die betrachteten Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gilt x_{n}\in {D\setminus {\{x_{0}\}}}\forall n\in \mathbb{N} (statt x_{n}\in D)
Anmerkung: Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen
Vergleichen wir unsere Intuition mit dem error: internal links not implemented, yet!
, so stellen wir fest, dass es auch bei der Stetigkeit um das Streben von f in einem Punkt x_{0} geht. Vergleichen wir zusätzlich beide error: internal links not implemented, yet!
, so finden wir auch hier sehr große Ähnlichkeiten. Bei der Stetigkeit von f im Punkt x_{0} wird nur zusätzlich gefordert, dass x_{0}\in D gilt, weil der Ausdruck f(x_{0}) existieren muss. (Da D\subset {\overline {D}}, gilt insbesondere x_{0}\in {\overline {D}}.) In der Tat gibt es Autoren, die Stetigkeit mithilfe von Grenzwerten von Funktionen definieren. Stetigkeit von f in x_{0}\in D bedeutet nämlich nichts anderes, als dass \lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=f(x_{0}) gilt. Dies ist sogar unabhängig davon, welche Variante wir bei der Definition über Folgen wählen. Dies liegt bei der ersten Variationsmöglichkeit daran, dass wir die Einschränkung x_{0}\in D für die Frage nach Stetigkeit sowieso treffen müssen. Es ist zudem egal, ob wir x_{n}\in D\setminus \{x_{0}\} oder x_{n}\in D fordern: Wenn für alle erlaubten Folgen in D\setminus \{x_{0}\}f(x_{n}) gegen f(x_{0}) strebt, so gilt dies auch für alle erlaubten Folgen in D. Umgekehrt: Wenn für alle erlaubten Folgen in Df(x_{n}) gegen f(x_{0}) strebt, so gilt dies auch für alle Folgen in D\setminus \{x_{0}\}.
Auch sei gesagt, dass die Definition von Stetigkeit über Grenzwerte von Funktionen ebenfalls mit der Epsilon-Delta-Definition dieses Kapitels funktioniert.
Bsp: Die Indikator-Funktion von \mathbb{Q}
Links und Rechtsseitige Grenzwerte
Verwendung von einseitigen Grenzwerten
"Später für Integrale: Raum der Regelfunktionen. Regelfunktion ist relativ abstrakt. Klassifizierbar als: f Regelfunktion gdw für alle x\in D rechts und linksseitiger Grenzwert existieren.
Evtl hilfreich
Motivation und Herleitung
Intuitive Erklärung
Wir werden nun den Grenzwerte einer Funktion f in einem Punkt x_{0} betrachten. Dabei geht es darum, zu untersuchen wie sich die Funktion f in der Nähe dieses Punktes verhält. Wir gehen mit den x-Werten beliebig nahe an x_{0} heran, und sehen uns dabei die Funktionswerte f(x) an.
Dabei ergeben sich Fragen, wie: Streben diese Funktionswerte irgendwo hin, d.h. haben sie ein Ziel
? Gibt es je nach Annäherungsart (von links, von rechts, ...) verschiedene
Ziele?
Der stetige Fall
Betrachten wir zunächst den Fall, dass f in x_{0} stetig ist. Als Beispiel wählen wir f(x)=\exp(x) und x_{0}=0. Wie verhält sich \exp(x), falls wir x gegen 0 gehen lassen? Nun ist es klar, dass sich \exp(x) dem Wert \exp(0)=1 annähert. Dabei ist es vollkommen egal, ob wir uns von links oder rechts annähern.
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Ebenso hätte es keinen Unterschied gemacht, wenn wir uns abwechselnd von links und rechts dem Wert x_{0}=0 genähert hätten. f(x) nähert sich dann genauso dem Wert \exp(0)=1. Mathematisch „sauber“ formuliert bedeutet dies: Für jede Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt \lim _{{n\to \infty }}\exp(x_{n})=\exp(0)=1. Der Grund dafür ist, dass die Exponentialfunktion error: internal links not implemented, yet!
im Ursprung ist. Zur Erinnerung:
Definition: Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} ist stetig an der Stelle x_{0}\in D, wenn für alle Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt:
Es liegt nun auf der Hand den „Grenzwert von f(x) für x gegen x_{0}“ als \lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n}) zu definieren. Es folgt: Eine stetige Funktion f:D\to \mathbb{R} besitzt daher in x_{0}\in D immer den Grenzwert \lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=f(x_{0}).
Verständnisaufgabe:
Bestimme die folgenden Grenzwerte:
\lim _{{x\to 1}}\ln(x)
\lim _{{x\to 0}}x\cos(x)
Lösungen:
Da \ln :\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} stetig in x_{0}=1 ist, gilt für jeder Folge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit Gliedern aus \mathbb{R} ^{+} und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=1: \lim _{{n\to \infty }}\ln(x_{n})=\ln(\lim _{{n\to \infty }}x_{n})=\ln(1)=0. Also ist \lim _{{x\to 1}}\ln(x)=0
Da die Funktionen x\mapsto x und x\mapsto \cos(x) stetig im Nullpunkt sind, ist auch die zusammengesetzte Funktion x\mapsto x\cos(x) dort stetig. Für jeder reelle Nullfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} gilt daher: \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\cos(x_{n})=0\cdot \cos(0)=0\cdot 1=0. Damit ist \lim _{{x\to 0}}x\cos(x)=0.
Nun stellen sich allerdings noch weitere Fragen, wie: Lässt sich der Grenzwert auch in einem Punkt berechnen, in dem die Funktion nicht
stetig ist? Lässt sich der Grenzwert auch in Punkten bestimmen, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen?
Der unstetige Fall
In der Praxis bedeutet die Unstetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x_{0}, in den meisten Fällen, dass die Funktion dort einen Sprung hat. Betrachten wir dazu das Beispiel g(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\neq 0,\\1&{\text{für }}x=0.\end{cases}} Diese Funktion „springt“ im Ursprung auf den Funktionswert g(0)=1, ist aber sonst überall konstant gleich null. Nähern wir uns nun dem Ursprung von rechts bzw. links an, so ist klar, dass f(x) immer konstant gleich null bleibt:
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Nun kommen wir zu einem entscheidenden Punkt: Soll x den Wert null annehmen dürfen, oder nicht. In unserer Charakterisierung mit Folgen, die wir im stetigen Fall benutzt hatten, bedeutet dies: Betrachten wir nur solche Nullfolgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}\neq 0 für alle n\in \mathbb{N} , oder ist auch x_{n}=0 für beliebig viele n erlaubt?
Im ersten Fall würde für jede Nullfolge (x_{n}) (mit x_{n}\neq 0) gelten: \lim _{{n\to \infty }}g(x_{n})=\lim _{{n\to \infty }}0=0. Definieren wir \lim _{{x\to 0}}g(x)=\lim _{{n\to \infty }}g(x_{n})=0, so existiert dieser Grenzwert.
Im zweiten Fall hingegen gilt beispielsweise für die konstante Nullfolge x_{n}=0: \lim _{{n\to \infty }}g(x_{n})=g(0)=1. Hingegen für die Nullfolge x_{n}={\tfrac 1n}: \lim _{{n\to \infty }}g(x_{n})=0. Der Grenzwert von g(x) für x\to 0 würde nicht existieren, da er nicht eindeutig wäre.
Dieser Punkt ist in der Analysis-Literatur nicht eindeutig festgelegt. In der moderneren Literatur wird meistens wie im zweiten Fall vorgegangen. Daher wollen auch in unserer Definition des Grenzwertes solche Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit x_{n}=x_{0} zulassen. Unsere (vorläufige) Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt des Definitionsbereichs lautet somit:
Eine Funktion f:D\to \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} besitzt in x_{0}\in D den Grenzwert c\in \mathbb{R} , in Zeichen \lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=c, falls für alle Folgen (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt: \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=c
Verständnisaufgabe:
Bestimme die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden:
\lim _{{x\to 0}}f(x) mit f(x)={\begin{cases}x&{\text{falls }}x\geq 0,\\-x&{\text{falls }}x<0\end{cases}}
\lim _{{x\to 0}}g(x) mit g(x)={\begin{cases}1&{\text{falls }}x\geq 0,\\-1&{\text{falls }}x<0\end{cases}}
Lösungen:
Bei f handelt es sich um die im Nullpunkt stetige Betragsfunktion |.|. Daher gilt für jeder Nullfolge (x_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}: \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=|0|=0. Damit ist \lim _{{x\to 0}}f(x)=0.
Dieser Grenzwert existiert nicht. Für die Nullfolge ({\tfrac 1n})_{{n\in \mathbb{N} }} gilt \lim _{{n\to \infty }}g({\tfrac 1n})=1. Für die Nullfolge (-{\tfrac 1n})_{{n\in \mathbb{N} }} hingegen ist \lim _{{n\to \infty }}g(-{\tfrac 1n})=-1.
Motivation
Man könnte nun fragen, wofür wir Grenzwerte von Funktionen überhaupt brauchen. Im ersten Semester begegnen sie einem überwiegend bei Stetigkeit bzw. stetiger Fortsetzbarkeit, allerdings kann man mit ihnen z.B. auch uneigentliche Integrale
berechnen. Das praktische an Grenzwerten von Funktionen ist, dass man am Ende ein sehr einfache Schreibweise dafür hat, dass man f beliebig nahe am Punkt x_{0} betrachtet. Man kann mit ihnen also das Verhalten einer Funktion beim Streben nach einem Punkt charakterisieren.
Vorbereitung auf das Folgenkriterium
Nun geht es darum, Grenzwerte von Funktionen mathematisch zu beschreiben.
Wir gehen bei der Betrachtung von f mit unseren x-Werten sehr nahe an x_{0} heran. Es bietet sich an, dies mithilfe von Folgen (x_{n})zu beschreiben, die den Grenzwert x_{0} haben. Da man die x-Werte in f einsetzen möchte, sollte die Folge innerhalb des Definitionsbereiches laufen. Die f(x)-Werte sollten ein Ziel haben. Dies bedeutet, dass die Folge (f(x_{n})) auch einen Grenzwert haben muss. Weiterhin war für uns wichtig, wie sehr die Funktion entschlossen ist, die f(x)-Werte zu lenken. Wir wollen etwas nur einen Grenzwert nennen, wenn die Funktionswerte immer gegen den gleichen Wert streben, egal auf welche Art wir uns x_{0} nähern. Es ist also noch nicht ausreichend, wenn für jede Folge (x_{n}) mit Grenzwert x_{0} gilt, dass die Folge(f(x_{n})) einen Grenzwert hat. Zusätzlich dazu müssen alle diese Funktionswertfolgen den gleichen Grenzwert haben.
Definition über das Folgenkriterium
Definition: Grenzwert von Funktionen
Sei f\colon D\to \mathbb{R} eine Funktion, x_{0}\in {\overline {D}} und a\in \mathbb{R} . fhat in x_{0} den Grenzwert a
, wenn für jede Folge (x_{n})_{{n\in {\mathbb {N}}}} mit \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in D und \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x_{0} gilt: \lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=a.
