Wir betrachten nun die harmonische Reihe
\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k}=1+{\frac 12}+{\frac 13}+{\frac 14}+\ldots . Wir werden zunächst deren Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten untersuchen. Anschließend beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen Wachstumsverhalten der Reihe. Außerdem werden wir einige Varianten der Reihe, wie die alternierende harmonische Reihe
\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}\cdot {\frac 1k} und die verallgemeinerte harmonische Reihe
\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1{k^{\alpha }}} untersuchen.
Vorüberlegung zur Monotonie und Beschränktheit
In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen S_{N}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac 1k} dieser Reihe aufgetragen.
Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d.h. die Differenz zwischen S_{N} und S_{{N+1}} wird für größer werdende N immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl M\in \mathbb{R} finden können, so dass für alle N\in \mathbb{N} gilt S_{N}\leq M.
Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d.h. ob die Folge der Partialsummen (S_{N})_{{N\in \mathbb{N} }} gegen eine reelle Zahl L konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle N\in \mathbb{N} gilt
S_{{N+1}}=\sum _{{k=1}}^{{N+1}}{\frac 1k}={\frac {1}{N+1}}+\sum _{{k=1}}^{N}{\frac 1k}={\frac {1}{N+1}}+S_{N}>S_{N}
Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind. Also ist auch hier die entscheidende Frage, ob die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Vermutung, ob die harmonische Reihe konvergiert
error: non-centered image not implemented, yet!Wir betrachten nochmal unsere Grafik. Diesmal konzentrieren wir uns auf einen anderen Aspekt: Kennen wir Funktionen von \mathbb{R} + nach \mathbb{R} , die so ähnlich aussehen wie die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe?
Die roten Punkte sehen fast so aus wie der Logarithmus, nur verschoben. Wir sehen zwar nicht den Teil des Logarithmus \ln(x) für x\in ]0,1], wo für x\to 0 gilt \ln(x)\to -\infty . Der Teil für x\to \infty sieht aber sehr ähnlich aus.
Über den Logarithmus wissen wir, dass \lim _{{x\to \infty }}\ln(x)=\infty . Da die Folge der S_{N} für N\to \infty ungefähr so aussieht wie \ln(x), können wir vermuten, dass \lim _{{N\to \infty }}S_{N}=\infty , d.h. die harmonische Reihe konvergiert nicht.
Harmonische Reihe
Divergenz der harmonischen Reihe
Satz: Divergenz der harmonischen Reihe
Die harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k} divergiert.
Wie komme ich auf den Beweis?
Die Folge \left({\tfrac 1k}\right)_{{k\in \mathbb{N} }} ist monoton fallend. Wenn n\geq m ist, ist {\tfrac 1n}\leq {\tfrac 1m}. Dementsprechend können wir die Summanden geschickt nach unten abschätzen:
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k}&=1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}\left({\frac 13}+{\frac 14}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac 15}+{\frac 16}+{\frac 17}+{\frac 18}\right)}+\ldots \\[0.5em]&\left\downarrow \ {\color {Indigo}{\frac 13}\geq {\frac 14}}{\text{ und }}{\color {Blue}{\frac 15}\geq {\frac 16}\geq {\frac 17}\geq {\frac 18}}\right.\\[0.5em]&\geq 1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}\left({\frac 14}+{\frac 14}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac 18}+{\frac 18}+{\frac 18}+{\frac 18}\right)}+\ldots \\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}2\cdot {\frac 14}}+{\color {Blue}4\cdot {\frac 18}}+\ldots \\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}{\frac 12}}+{\color {Blue}{\frac 12}}+\ldots \end{aligned}}
An der letzten Reihe können wir erkennen, dass die Abschätzung gegen unendlich strebt und damit divergiert. Da wir nach unten abgeschätzt haben, muss auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k} divergieren. Um den Beweis formal richtig zu führen, zeigen wir direkt, dass die Partialsummenfolge \left(\sum _{{k=1}}^{n}{\frac 1k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} divergiert. Da jeweils 2^{n} Summanden zusammengefasst werden, betrachten wir nur die Teilfolge \left(\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}. Hier ist der Vorteil, dass wir alle Summanden schön zusammenfassen können.
Beweis
Sei n\in \mathbb{N} beliebig. Wir betrachten die Partialsummenfolge \left(\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}&=1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}\left({\frac 13}+{\frac 14}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac 15}+{\frac 16}+{\frac 17}+{\frac 18}\right)}+\ldots +{\color {CadetBlue}\left({\frac 1{2^{{n-1}}+1}}+\ldots +{\frac 1{2^{{n}}-1}}+{\frac 1{2^{n}}}\right)}\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Summanden abschätzen: }}{\color {Indigo}{\frac 13}\geq {\frac 14}}{\text{ und }}{\color {Blue}{\frac 15}\geq {\frac 16}\geq {\frac 17}\geq {\frac 18}}{\text{ und }}\ldots \right.\\[0.5em]&\geq 1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}\left({\frac 14}+{\frac 14}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac 18}+{\frac 18}+{\frac 18}+{\frac 18}\right)}+\ldots +{\color {CadetBlue}\left({\frac 1{2^{n}}}+\ldots +{\frac 1{2^{n}}}+{\frac 1{2^{n}}}\right)}\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Summanden zusammenfassen}}\right.\\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}2\cdot {\frac 14}}+{\color {Blue}4\cdot {\frac 18}}+\ldots +{\color {CadetBlue}2^{{n-1}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}\\[0.5em]&=1+\underbrace {{\color {OliveGreen}{\frac 12}}+{\color {Indigo}{\frac 12}}+{\color {Blue}{\frac 12}}+\ldots +{\color {CadetBlue}{\frac 12}}}_{{n{\text{ Summanden}}}}\\[0.5em]&=1+{\frac {n}2}\end{aligned}}
Damit ist
\lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}\geq \lim _{{n\to \infty }}1+{\frac {n}2}=\infty
Dies zeigt, dass die Folge \left(\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} gegen unendlich strebt und somit divergiert. Eine Folge divergiert, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert. Weil die Teilfolge \left(\sum _{{k=1}}^{{2^{n}}}{\frac 1k}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} der harmonischen Reihe divergiert, muss auch die harmonische Reihe divergieren.
Asymptotik
Wir haben uns oben schon überlegt, dass die Partialsummen der harmonischen Reihe ähnlich wie der natürliche Logarithmus anwachsen. Tatsächlich gilt
{\begin{aligned}\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\sum _{{k=1}}^{n}{\frac 1k}}{\ln n}}=1\end{aligned}}
Es gilt sogar noch mehr: Die Differenz strebt gegen eine feste Zahl:
{\begin{aligned}\gamma =\lim _{{n\to \infty }}\left(\sum _{{k=1}}^{n}{\frac 1k}-\ln n\right)\approx 0,5772\end{aligned}}
Im Kapitel zur error: internal links not implemented, yet!
werden wir diese Grenzwerte beweisen. Diese Zahl \gamma ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante
. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendetSiehe den englischen Wikipedia-Artikel „Euler–Mascheroni constant“
. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Niemand weiß es!
Alternierende harmonische Reihe
Definition: alternierende harmonische Reihe
Die alternierende harmonische Reihe ist die Reihe
\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}\cdot {\frac 1k}=1-{\frac 12}+{\frac 13}-{\frac 14}+{\frac 15}+\ldots
Konvergenz
error: non-centered image not implemented, yet!Da diese Reihe alternierend ist, d.h. die Summanden abwechselnd positives und negatives Vorzeichen haben, nehmen die Partialsummen der Reihe nicht beliebig zu, sondern konvergieren gegen einen festen Wert. Wir zeigen zunächst, dass die Reihe konvergiert, um danach den Grenzwert genauer zu untersuchen.
Satz: Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe
Die alternierende harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}{\frac 1k} konvergiert.
BeweisDie Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe kann mithilfe des error: internal links not implemented, yet!
nachgewiesen werden. Die Reihe ist alternierend und die Folge der Beträge der einzelnen Summanden \left|(-1)^{{k+1}}\cdot {\tfrac 1k}\right|={\tfrac 1k} ist eine monoton fallende Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.
Alternativ lässt sich die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe erneut mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zeigen. Siehe dazu die entsprechende error: internal links not implemented, yet!
.
Grenzwert
Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe ist \ln(2). Im Kapitel zur error: internal links not implemented, yet!
werden wir diese Behauptung mithilfe des Grenzwerts \lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=1}}^{n}{\tfrac 1k}-\ln n=\gamma herleiten.
Alternativ kann der Grenzwert mit Hilfe einer Taylorreihe gezeigt werden. Ich möchte dir den Beweis bereits hier vorstellen, wobei du diesen aber gerne überspringen kannst. Man startet mit der Taylorreihe von \ln(1+x):
\ln(1+x)=\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}\cdot {\frac {x^{k}}k}=x-{\frac {x^{2}}2}+{\frac {x^{3}}3}-{\frac {x^{4}}4}+\ldots
Man kann zeigen, dass diese Reihe für alle -1<x\leq 1 gegen die Funktion \ln(1+x) konvergiert. Nun setzt man x=1 und erhält als Ergebnis:
\ln(2)=\ln(1+1)=\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}\cdot {\frac {1^{k}}k}=\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k+1}}\cdot {\frac {1}k}
Solltest du diesen Beweis nicht verstehen, ist es nicht schlimm 😃. Wie gesagt: Zunächst musst du hierfür lernen, was die Taylorreihe ist.
Die Reihe der reziproken Quadratzahlen
Eine weitere sehr „beliebte“ und nützliche Reihe ist die Reihe der reziproken Quadratzahlen:
\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac 1{2^{2}}}+{\frac 1{3^{2}}}+{\frac 1{4^{2}}}+\ldots =1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\ldots
Konvergenz
Die Reihe der reziproken Quadratzahlen ist konvergent, weil die Folge \left(\sum _{{k=1}}^{n}{\frac 1{k^{2}}}\right)_{{n\in \mathbb{N} }} aller Partialsummen monoton steigend und nach oben beschränkt ist. Sie ist monoton steigend, weil für alle natürlichen Zahlen n gilt:
S_{{n+1}}=\sum _{{k=1}}^{{n+1}}{\frac 1{k^{2}}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}{\frac 1{k^{2}}}+{\frac 1{(n+1)^{2}}}\geq \sum _{{k=1}}^{{n}}{\frac 1{k^{2}}}=S_{n}
Weiter ist {\tfrac 1{k^{2}}}={\tfrac 1{k\cdot k}}\leq {\tfrac 1{k(k-1)}} für k\geq 2 und damit lässt sich auch die Beschränkheit beweisen, denn es gilt:
{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{{n}}{\frac 1{k^{2}}}&=1+\sum _{{k=2}}^{{n}}{\frac 1{k^{2}}}\\[0.5em]&\leq 1+\sum _{{k=2}}^{{n}}{\frac 1{k(k-1)}}\\[0.5em]&=1+\sum _{{k=2}}^{{n}}\left({\frac 1{k-1}}-{\frac 1{k}}\right)\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\color {Gray}{\text{Teleskopsumme}}}\right.\\[0.5em]&=1+\left(1-{\frac 1{n}}\right)=2-{\frac 1{n}}\leq 2\end{aligned}}
Alternativ kann die Konvergenz mit dem Cauchy-Kriterium bewiesen werden. Das werden wir in der error: internal links not implemented, yet!
tun.
Grenzwert
Es gilt: \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}6}. Es gibt etliche Möglichkeiten, dies zu zeigen. Allerdings benötigen alle Beweise weiterführende Hilfsmittel wie Taylorreihen, Fourrierreihen oder Integrationstheorie. Siehe hierzu den Wikipedia-Artikel „Basler Problem“
, in dem diese Reihe und ihr Grenzwert detaillierter besprochen werden.
Allgemeine harmonische Reihe
Definition: allgemeine harmonische Reihe
Die allgemeine harmonische Reihe ist die Reihe
\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\ldots
Dabei ist \alpha eine beliebige natürliche Zahl.Für \alpha =1 erhält man die harmonische Reihe, welche divergiert. Für \alpha =2 erhält man die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}. Da die Reihe für \alpha =2 konvergiert, kann man mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen, dass die allgemeine harmonische Reihe ebenfalls für alle \alpha >2 konvergiert. Im Kapitel error: internal links not implemented, yet!
werden wir schließlich beweisen, dass die allgemeine harmonische Reihe für \alpha >1 konvergiert.