In diesem Kapitel wirst du mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium ein wichtiges Konvergenzkriterium kennenlernen. Mit diesem kannst du das Konvergenzverhalten einer Reihe auf das Konvergenzverhalten einer anderen Reihe zurückführen. So ist es möglich, eine Reihe „zu vereinfachen“. Mit diesen Kriterien kann nämlich eine Reihe so geschickt nach oben oder nach unten abgeschätzt werden, dass ein Beweis zum Konvergenzverhalten möglich wird.
Außerdem kann mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium das Quotienten- sowie das Wurzelkriterium für Reihen bewiesen werden, welche beide in Aufgaben zur Reihenkonvergenz sehr nützlich sind.
Majorantenkriterium error: TODO
error: non-centered image not implemented, yet!Kommen wir zum Majorantenkriterium. Dieses lautet folgendermaßen:
Satz: Majorantenkriterium
Sei \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine Reihe. Wenn es eine konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} mit |a_{k}|\leq c_{k} für alle k\in \mathbb{N} gibt, dann konvergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} absolut.
ErklärungDiesen Satz können wir mit dem vorherigen Satz beweisen. Beachte, dass aus der Ungleichung |a_{k}|\leq c_{k} automatisch folgt, dass c_{k}\geq 0 ist, denn c_{k} ist größer gleich der nicht negativen Zahl |a_{k}|.
Beweis
Wenn \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} konvergiert, dann ist deren Partialsummenfolge nach oben beschränkt (siehe error: internal links not implemented, yet!
). Wegen |a_{k}|\leq c_{k} für alle k\in \mathbb{N} ist dann auch die Partialsummenfolge zu \sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}| nach oben beschränkt. Es gilt nämlich
\sum _{{k=1}}^{n}|a_{k}|\leq \sum _{{k=1}}^{n}c_{k}\leq \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k}<\infty
wegen 0\leq |a_{k}|\leq c_{k} für alle k\in \mathbb{N} Nun wächst die Partialsummenfolge von \sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}| monoton wegen |a_{k}|\geq 0. Also muss \sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}| konvergieren. Dies gilt mit dem vorherigen Satz, weil diese Reihe monoton und beschränkt ist.
Hinweis:
Es reicht beim Majorantenkriterium aus, wenn es ein N\in \mathbb{N} gibt, so dass |a_{k}|\leq c_{k} für alle k\geq N gilt.
Verständnisfrage: Warum reicht es für das Majorantenkriterium aus, dass es ein N\in \mathbb{N} gibt, so dass |a_{k}|\leq c_{k} für alle k\geq N gilt.?
Ist die Partialsummenfolge zu \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} nach oben beschränkt, so auch die zu \sum _{{k=N}}^{\infty }c_{k}. Wegen
\sum _{{k=N}}^{n}|a_{k}|\leq \sum _{{k=N}}^{n}c_{k}\leq \sum _{{k=N}}^{\infty }c_{k}<\infty
ist dann auch die Partialsummenfolge zu \sum _{{k=N}}^{\infty }|a_{k}| nach oben beschränkt. Da die endlich vielen Reihensummanden a_{1},a_{2},\ldots ,a_{{N-1}} nichts an der Beschränktheit ändern, sind auch die Partialsummen von \sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}| nach oben beschränkt. Damit konvergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} absolut.
Hinweis:
Wie in der Einleitung schon angesprochen, möchten wir bei der Anwendung des Majorantenkriteriums eine möglichst einfach strukturierte Reihe als Majorante wählen, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Häufig kann die konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{2}}} als Majorante gewählt werden. Ebenso kann jede andere verallgemeinerte harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{\alpha }}} für \alpha >1 in Betracht gezogen werden. Eine andere Möglichkeit ist es, die konvergente geometrische Reihe \sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k} für |q|<1, also etwa \sum _{{k=0}}^{\infty }\left({\tfrac 12}\right)^{k}, auszuprobieren.
Minorantenkriterium
Ähnlich zum Majorantenkriterium ist das Minorantenkriterium. Jedoch kann mit diesem Kriterium die Divergenz und nicht die Konvergenz einer Reihe bewiesen werden.
Satz: Minorantenkriterium
Sei \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine Reihe mit a_{k}\geq 0 für alle k\in \mathbb{N} . Wenn es eine divergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} mit a_{k}\geq c_{k}\geq 0 für alle k\in \mathbb{N} gibt, dann divergiert auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.
BeweisWegen c_{k}\geq 0 wächst die Partialsummenfolge von \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} monoton. Da nach Prämisse diese Reihe divergiert, muss diese unbeschränkt sein. Wegen c_{k}\leq a_{k} für alle k\in \mathbb{N} ist auch stets \sum _{{k=1}}^{n}c_{k}\leq \sum _{{k=1}}^{n}a_{k} für alle n\in \mathbb{N} und damit muss auch die Partialsummenfolge von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} unbeschränkt sein. Daraus folgt, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} divergiert (jede unbeschränkte Folge muss divergieren).
Hinweis:
Analog zum Majorantenkriterium reicht es auch beim Minorantenkriterium aus, wenn die Voraussetzung a_{k}\geq c_{k}\geq 0 für alle k\geq N, für ein (festes) N\in \mathbb{N} , erfüllt ist.
Hinweis:
Beim Minorantenkriterium bietet sich häufig die divergente harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} als Minorante an. Ansonsten kommt aber auch jede der Reihen \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{\alpha }}} für \alpha <1 , also etwa \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{{\sqrt k}}}, als Minorante in Frage. Außerdem ist jede geometrische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k} mit q\geq 1 als Minorante geeignet.
Warnung:
Beim Minorantenkriterium ist die zusätzliche Bedingung a_{k}\geq 0 notwendig! Gilt „nur“ die zum Majorantenkriterium analoge Voraussetzung |a_{k}|\geq c_{k} und a_{k}\in \mathbb{R} beliebig, so folgt aus der Divergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} nicht
die Divergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}. Es folgt lediglich, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} nicht absolut
konvergiert. Als Beispiel betrachten wir die Reihen \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{k}} und \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} mit a_{k}={\tfrac {(-1)^{k}}{k}} und c_{k}={\tfrac 1k}. Es gilt {\tfrac 1k}\leq \left|{\tfrac {(-1)^{k}}{k}}\right|={\tfrac 1k}, und die harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} divergiert. Jedoch kann man zeigen, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{k}} nach dem error: internal links not implemented, yet!
konvergiert.
Beispiele und Aufgaben
Beispiel und Aufgabe zum Majorantenkriterium
error: non-centered image not implemented, yet!Beispiel: Majorantenkriterium
Beispiel
Betrachten wir die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {k}{k^{3}+k}}. Die Koeffizientenfolge lautet a_{k}={\tfrac {k}{k^{3}+k}}. Klammern wir im Nenner k aus und kürzen anschließend, so erhalten wir
{\frac {k}{k^{3}+k}}={\frac {k}{k(k^{2}+1)}}={\frac {1}{k^{2}+1}}
Die Reihe verhält sich also wie die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}} und sollte daher konvergieren. Formal begründen wir das folgendermaßen: Aus k^{2}+1\geq k^{2} folgt damit
\underbrace {{\frac {k}{k^{3}+k}}}_{{=|a_{k}|}}={\frac {1}{k^{2}+1}}\leq \underbrace {{\frac {1}{k^{2}}}}_{{=c_{k}}}
Da nun die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k}=\sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}} konvergiert, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}=\sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {k}{k^{3}+k}}.
Übung: Majorantenkriterium
Untersuche, ob die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }\left({\tfrac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2} konvergiert.
Wie komme ich auf den Beweis?
Wenn man noch wenig Erfahrung in solchen Konvergenzbeweisen hat, lässt sich nur schwer erraten, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Wenn du dir aber den Bruch {\tfrac {k+1}{k^{2}+3k}} anschaust, dann erkennst du, dass der Zähler ein Polynom ersten und der Nenner ein Polynom zweiten Grades ist. Der gesamte Bruch fällt also mit einer Konvergenzgeschwindigkeit, die in der Größenordnung von {\tfrac {1}{k}} ist. Nun wird dieser Bruch im Summanden der Reihe quadriert. Damit fällt \left({\tfrac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2} mit der Konvergenzgeschwindigkeit wie {\tfrac {1}{k^{2}}}. Weil \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}} konvergiert, sollte auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2} konvergieren.
Dies lässt sich so zwar kaum beweisen, gibt uns aber einen Anhaltspunkt. Mit dem Majorantenkriterium lässt sich nun die Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2} auf die Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}} zurückführen. Hierzu muss man geschickt abschätzen:
{\begin{aligned}{\frac {k+1}{k^{2}+3k}}&\leq {\frac {k+1}{k^{2}}}\leq {\frac {k+k}{k^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {2k}{k^{2}}}=2\cdot {\frac {1}{k}}\end{aligned}}
Das Abschätzen erfolgte hier nach einem gewissen Schema: Summanden, die den Term verkleinern, wurden gestrichen. Dann wurden Summanden, die nicht gestrichen werden konnten, so abgeschätzt, dass sie mit anderen Summanden zusammengefasst werden können. Insgesamt erhalten wir so:
\left({\frac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2}\leq \left(2\cdot {\frac {1}{k}}\right)^{2}=4\cdot {\frac {1}{k^{2}}}
Nun kann das Majorantenkriterium angewandt werden. Die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }4\cdot {\frac {1}{k^{2}}} konvergiert und damit auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2}.
Es ist
{\begin{aligned}\left({\frac {k+1}{k^{2}+3k}}\right)^{2}&\leq \left({\frac {k+1}{k^{2}}}\right)^{2}\leq \left({\frac {k+k}{k^{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {2k}{k^{2}}}\right)^{2}\\[0.5em]&=\left(2\cdot {\frac {1}{k}}\right)^{2}=4\cdot {\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}
und
\sum _{{k=1}}^{\infty }4\cdot {\frac {1}{k^{2}}}=4\cdot \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}<\infty
Damit konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium.
Beispiel und Aufgabe zum Minorantenkriterium
error: non-centered image not implemented, yet!Beispiel: Minorantenkriterium
Beispiel
Betrachten wir nun die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{2k-1}}. Diese wächst ähnlich wie die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{2k}}. Da nun die harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} divergiert, divergiert auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{2k}}, und damit auch unsere ursprüngliche Reihe. Formal sauber zeigen wir das folgendermaßen: Es gilt
2k-1\leq 2k\iff \underbrace {{\frac {1}{2k-1}}}_{{=a_{k}}}\geq \underbrace {{\frac {1}{2k}}}_{{=c_{k}}}
Da nun \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{2k}} divergiert, divergiert mit dem Minorantenkriterium auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{2k-1}}.
Übung: Minorantenkriterium
Man untersuche, ob die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}} konvergiert oder divergiert.
Wie komme ich auf den Beweis?
Hier lohnt sich ein Blick auf die Konvergenzgeschwindigkeit, mit der die Summanden gegen Null konvergieren. Das Produkt k(k+2) konvergiert wie k^{2} gegen Unendlich. Damit konvergiert {\tfrac {1}{k(k+2)}} wie {\tfrac 1{k^{2}}} gegen 0. Da im Summanden noch die Wurzel gezogen wird, ist insgesamt die Konvergenzgeschwindigkeit von {\tfrac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}} gegen 0 wie bei der Folge {\tfrac 1k}. Da die harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} bekanntermaßen divergiert, sollte auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}} divergieren.
Nachdem wir eine Vermutung über das Konvergenzverhalten aufgestellt haben, müssen wir diese Vermutung noch durch einen Beweis untermauern. Hier können wir das Minorantenkriterium benutzen, wobei wir zunächst geschickt nach unten abschätzen müssen:
{\begin{aligned}{\frac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}}&={\frac {1}{{\sqrt {k^{2}+2k}}}}\geq {\frac {1}{{\sqrt {k^{2}+2k^{2}}}}}\\[0.3em]&={\frac {1}{{\sqrt {3k^{2}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {3}}\cdot k}}\end{aligned}}
Hier folgten wir einem gewissen Schema: Summanden, die den Term vergrößern, werden gestrichen. Danach haben wir die Summanden, die nicht gestrichen werden konnten, so abgeschätzt, dass sie mit anderen Summanden zusammengefasst werden konnten. Nun divergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {3}}\cdot k}}. Also muss nach dem Minorantenkriterium auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}} divergieren.
Beweis
Es ist
{\begin{aligned}{\frac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}}&={\frac {1}{{\sqrt {k^{2}+2k}}}}\geq {\frac {1}{{\sqrt {k^{2}+2k^{2}}}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{{\sqrt {3k^{2}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {3}}\cdot k}}={\frac {1}{{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{k}}\end{aligned}}
Außerdem divergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {3}}}}\cdot {\tfrac {1}{k}}. Damit muss \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{{\sqrt {k(k+2)}}}} nach dem Minorantenkriterium divergieren.
Folgerung: Grenzwertkriterium
Aus dem Majorantenkriterium können wir für Reihen mit positiven Gliedern das folgende Grenzwertkriterium oder auch Vergleichskriterium herleiten:
Satz: Grenzwertkriterium für Reihen
Sind \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} und \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k} zwei Reihen mit positiven Gliedern, und existiert \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}=c mit c>0, dann konvergiert die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} genau dann, wenn die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k} konvergiert. Damit gilt auch: Die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} divergiert genau dann, wenn \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k} divergiert.
Beweis
Wegen \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}=c gibt es ein N\in \mathbb{N} , so dass |{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}-c|<{\tfrac c2} für alle k\geq N. Dies folgt aus der Epsilon-Definition des Grenzwerts mit \epsilon ={\tfrac c2}. Damit gilt für alle k\geq N:
{\begin{aligned}&|{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}-c|<{\tfrac c2}\\[0.5em]\iff &c-{\tfrac c2}\leq {\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}\leq c+{\tfrac c2}\\[0.5em]\iff &{\tfrac 12}c\leq {\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}\leq {\tfrac 32}c\\[0.5em]\iff &{\tfrac 12}c\cdot b_{k}\leq a_{k}\leq {\tfrac 32}c\cdot b_{k}\end{aligned}}
Wenn \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} konvergiert, dann konvergiert auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 12}c\cdot b_{k} nach dem Majorantenkriterium wegen der Ungleichung {\tfrac 12}c\cdot b_{k}\leq a_{k} für alle k\geq N. Dann konvergiert auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k} nach der Faktorregel konvergenter Reihen. Es ist nämlich \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}=\sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 2c}\cdot \left({\tfrac 12}c\cdot b_{k}\right).
Wenn auf der anderen Seite \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k} konvergiert, dann konvergiert auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 32}c\cdot b_{k} nach der Faktorregel konvergenter Reihen. Nach der Ungleichung a_{k}\leq {\tfrac 32}c\cdot b_{k} für alle k\geq N konvergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} nach dem Majorantenkriterium.
Verständnisfrage: Was können wir, unter denselben Voraussetzungen wie im obigen Satz, aus \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}=0 folgern?
Es lässt sich aus der Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}, die Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} folgern. Gilt nämlich \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}=0, so gibt es ein N\in \mathbb{N} mit {\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}\leq 1\iff a_{k}\leq b_{k} für alle k\geq N. Konvergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}, so konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.
Umgekehrt folgt aus der Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} in diesem Fall nicht
die Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}. Als Beispiel betrachten wir die Reihen \sum _{{k=1}}^{\infty }\underbrace {{\tfrac 1{k^{2}}}}_{{=a_{k}}} und \sum _{{k=1}}^{\infty }\underbrace {{\tfrac 1k}}_{{=b_{k}}} . Hier gilt
\lim _{{k\to \infty }}{\frac {a_{k}}{b_{k}}}=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {{\frac 1{k^{2}}}}{{\frac 1k}}}=\lim _{{k\to \infty }}{\frac 1k}=0
Allerdings ist \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{2}}} konvergent und \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1k} divergent.
Beispiel: Konvergenz mit Grenzwertkriterium zeigen
Beispiel
Betrachten wir die Reihe \sum \limits _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {2k^{2}}{6k^{4}-3k}}. Es gilt
a_{k}={\frac {2k^{2}}{6k^{4}-3k}}={\frac {k^{2}}{k^{4}}}\cdot {\frac {2}{6-{\frac {3}{k^{3}}}}}={\frac {1}{k^{2}}}\cdot {\frac {2}{6-{\frac {3}{k^{3}}}}}
Mit b_{k}={\tfrac {1}{k^{2}}} folgt damit
\lim _{{k\to \infty }}{\frac {a_{k}}{b_{k}}}=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {2}{6-{\frac {3}{k^{3}}}}}={\frac 26}={\frac 13}
Da die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{2}}} konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch die Reihe \sum \limits _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {2k^{2}}{6k^{4}-3k}}.
Hinweis:
Wie wir an diesem Beispiel gesehen haben, bietet das Grenzwertkriterium eine praktische Möglichkeit, die Konvergenz einer Reihe zu beweisen. Oftmals ist die Grenzwertberechnung \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}} einfacher als das Finden einer passenden Majorante. Jedoch kannst du das Grenzwertkriterium nur dann anwenden, wenn dies auch in deiner Vorlesung behandelt wird. In vielen Vorlesungen ist dies aber nicht der Fall. Es besteht jedoch die Möglichkeit den Grenzwert für das Majorantenkriterium zu verwenden, indem wir analog zum Beweis des Grenzwertkriteriums argumentieren:
Für a_{k}={\tfrac {2k^{2}}{6k^{4}-3k}} und b_{k}={\tfrac 1{k^{2}}} haben wir \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}={\tfrac 13} gezeigt. Daher gibt es ein n_{0}\in \mathbb{N} mit {\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}<2\cdot {\tfrac 13}={\tfrac 23} für alle k\geq n_{0}. Dies ist äquivalent zu a_{k}\leq {\tfrac 23}b_{k} für alle k\geq n_{0}. Da \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 1{k^{2}}} konvergiert, konvergiert auch \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac 23}{\tfrac 1{k^{2}}}. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert damit \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {2k^{2}}{6k^{4}-3k}}.Übung: Grenzwertkriterizum
Untersuche für welche s\in \mathbb{Q} die Reihe \sum _{{n=1}}^{\infty }({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1) konvergiert.
Hinweis:
Betrachte die verallgemeinerte harmonische Reihe \sum _{{n=1}}^{\infty }{\tfrac 1{n^{s}}}.
Fall 1:
Fall 2:
s\leq 0
Hier ist a_{n}={\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1 keine Nullfolge, denn
a_{n}={\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1={\begin{cases}{\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{0}}}}}-1={\sqrt 2}-1&{\text{für }}s=0,\\{\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1={\sqrt {1+n^{{-s}}}}-1\to \infty &{\text{für }}s<0\iff -s>0\end{cases}}
s>0
Auf Grund des Hinweises setzen wir a_{n}={\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1 und b_{n}={\tfrac 1{n^{s}}}. Damit gilt
{\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}&={\frac {{\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1}{{\frac {1}{n^{s}}}}}\\[0.5em]&={\frac {({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}-1)({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1)}{{\frac {1}{n^{s}}}({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1+{\tfrac 1{n^{s}}}-1^{2}}{{\frac {1}{n^{s}}}({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1)}}\\[0.5em]&={\frac {{\tfrac 1{n^{s}}}}{{\frac {1}{n^{s}}}({\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{{\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1}}\\[0.5em]\end{aligned}}
Wegen \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac 1{n^{s}}}=0 und wegen der error: internal links not implemented, yet!
folgt \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {1}{{\sqrt {1+{\tfrac 1{n^{s}}}}}+1}}={\tfrac {1}{{\sqrt 1}+1}}={\tfrac 12}. Mit dem Grenzwertkriterium konvergiert unsere Reihe genau dann, wenn die Reihe \sum _{{n=1}}^{\infty }{\tfrac 1{n^{s}}} konvergiert. Sie ist also im Fall s>1 konvergent und im Fall 0<s\leq 1 divergent.Fassen wir beide Fälle zusammen, so konvergiert unsere Reihe, falls s>1 ist, und divergiert, falls s\leq 1 ist.