Am Ende des letzten Kapitels hatten wir bereits erwähnt, dass wir die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht einfach auf uneigentlich konvergente Folgen anwenden dürfen. Konvergiert beispielsweise eine Folge (a_{n}) (uneigentlich) gegen \infty und eine weitere Folge (b_{n}) (eigentlich) gegen 0, so ist es unmöglich, eine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Produktfolge zu machen!

Nun werden wir uns überlegen, inwiefern wir unter bestimmten Einschränkungen trotzdem Regeln für uneigentlich konvergente Folgen herleiten können. Wir werden sehen, dass auch hier, unter Berücksichtigung der Voraussetzungen, Summen- , Produkt- , und Quotientenregeln gelten.

Überlegen wir uns zunächst, inwiefern wir die Produktregel übertragen können. Wir setzen voraus, dass (a_{n}) eine Folge mit \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty ist, und überlegen uns, was mit der Produktfolge (a_{n}b_{n}) passiert. Da wir oben schon bemerkt haben, dass der Fall \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0 Probleme bereitet, schließen wir diesen aus.

1. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty . In dieser Fall ist es intuitiv vollkommen klar, dass auch \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=\infty gelten sollte. Dies müssen wir aber formal sauber beweisen. Wir müssen also zeigen:

Sei daher so ein S\in \mathbb{R} vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es dann ein N_{1}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\sqrt {|S|}} für alle n\geq N_{1}. Analog gibt es wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty ein N_{2}\in \mathbb{N} mit b_{n}\geq {\sqrt {|S|}} für alle n\geq N_{2}. Für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\} gilt somit

Also gilt \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=\infty .

2. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=-\infty . Auch in diesem Fall ist intuitiv klar, dass auch \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=-\infty gelten sollte. Wir müssen also zeigen:

Sei daher S\in \mathbb{R} vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es ein N_{1}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\sqrt {|S|}} für alle n\geq N_{1}. Analog gibt es wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=-\infty ein N_{2}\in \mathbb{N} mit b_{n}\leq -{\sqrt {|S|}} für alle n\geq N_{2}. Für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\} gilt somit

Also gilt \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=-\infty .

3. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b>0. In diesem Fall sollte wie im 1.Fall \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=\infty gelten. Wir müssen also wieder zeigen:

Sei daher S\in \mathbb{R} vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b gibt es zu jedem \epsilon >0 ein N_{1}\in \mathbb{N} mit |b_{n}-b|<\epsilon für alle n\geq N_{1}. Setzen wir \epsilon ={\tfrac b2}, so gilt daher \forall n\geq N_{1}: |b_{n}-b|<{\tfrac b2}, also insbesondere b_{n}>{\tfrac b2}>0. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es ein N_{2}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\tfrac {|S|}{{\tfrac b2}}}={\tfrac {2|S|}{b}}\geq 0 für alle n\geq N_{1}. Für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\} gilt somit

Also ist \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=\infty .

4. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b<0. Hier gilt \lim _{{n\to \infty }}a_{n}b_{n}=-\infty .

Die vier Fälle lassen sich auch kompakt zusammenfassen. Dazu führen wir folgende praktische Erweiterung der reellen Zahlen ein: Wir erweitern \mathbb{R} durch \pm \infty und erhalten so die Menge {\overline {\mathbb{R} }}=\mathbb{R} \cup \{\pm \infty \}.

Sei erneut (a_{n}) eine Folge mit \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty . Die Frage ist nun, wie es sich mit dem Grenzwert der Summenfolge (a_{n}+b_{n}) verhält. Uns wir schnell klar, dass hier der kritische Fall \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=-\infty ist. In diesem Fall ist es unmöglich, eine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten von (a_{n}+b_{n}) zu machen. Für a_{n}=n und b_{n}=-n gilt beispielsweise \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}0=0, für a_{n}=2n und b_{n}=-n gilt \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}n=\infty . Wir schließen daher den Fall \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=-\infty aus, und betrachten nur die übrigen relevanten Fälle:

1. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty . Hier ist klar, dass \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\infty gelten muss. Wir müssen zeigen:

Sei S\in \mathbb{R} vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es dann ein N_{1}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\tfrac S2} für alle n\geq N_{1}. Analog gibt es wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty ein N_{2}\in \mathbb{N} mit b_{n}\geq {\tfrac S2} für alle n\geq N_{2}. Für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\} gilt somit

Also ist \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\infty .

2. Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b\in \mathbb{R} . Hier gilt ebenfalls \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\infty . Auch hier müssen wir zeigen:

Sei S\in \mathbb{R} vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b gibt es dann zu jedem \epsilon >0 ein N_{2}\in \mathbb{N} mit |b_{n}-b|<\epsilon für alle n\geq N_{2}. Insbesondere auch für \epsilon =1. Also gilt b_{n}>b-1 für alle n\geq N_{2}. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es außerdem ein N_{1}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq S-b+1 für alle n\geq N_{1}. Für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\} gilt somit

Also ist \lim _{{n\to \infty }}a_{n}+b_{n}=\infty .

Die beiden Fälle fassen wir wieder zusammen:

Auch die nächste Regel ist intuitiv vollkommen logisch. Ist (a_{n}) eine Folge mit a_{n}\neq 0 für alle n\in \mathbb{N} und \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty oder \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=-\infty , so muss \left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right) eine Nullfolge sein.

1.Fall: \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty . Wir müssen zeigen

Sei \epsilon >0 vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es zu S={\tfrac {1}{\epsilon }}+1 ein N\in \mathbb{N} , so dass \forall n\geq N gilt a_{n}\geq {\tfrac {1}{\epsilon }}+1. Damit gilt \forall n\geq N auch

Somit ist \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0.

2.Fall: \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=-\infty .

Wir halten das Ergebnis noch einmal fest:

Die Frage ist nun, wie wir die Voraussetzungen einschränken müssen, damit auch die Rückrichtung der Inversionsregel gilt. Bei dem Gegenbeispiel war das Problem, dass die Folge ((-1)^{n}n) alternierend war. Daher gibt es unendlich viele Folgenglieder, die positiv sind, und unendlich viele Folgenglieder, die negativ sind. Fordern wir als zusätzliche Voraussetzung an (a_{n}), dass entweder nur endlich viele Folgenglieder negativ, oder nur endlich viele Folgenglieder positiv sind, so tritt das Problem nicht mehr auf.

1.Fall: Sei zunächst (a_{n}) eine Folge mit \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {1}{a_{n}}}=0, alle Folgenglieder seien \neq 0 und und fast alle Folgenglieder seien positiv. Dann ist es intuitiv klar, dass \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gilt. Zum Beweis müssen wir zeigen:

Sei S\in \mathbb{R} gegeben. Da \left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right) eine Nullfolge ist, gibt es zu \epsilon ={\tfrac {1}{|S|}}>0 ein {\tilde {N}}\in \mathbb{N} mit \left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|<{\tfrac {1}{|S|}} für alle n\geq {\tilde {N}}. Da fast alle Folgenglieder von (a_{n}) positiv sind, gibt es ein N\geq {\tilde {N}} mit \left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|={\tfrac {1}{a_{n}}}<{\tfrac {1}{|S|}} für alle n\geq N. Damit gilt nun a_{n}\geq |S|\geq S für alle n\geq N. Also ist \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty .

2.Fall: Sei nun (a_{n}) eine Folge mit \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {1}{a_{n}}}=0, alle Folgenglieder seien \neq 0 und fast alle Folgenglieder seien negativ.

Wir halten die beiden Fälle für die Rückrichtung der Inversionsregel noch einmal fest

Als nächstes wenden wir uns Quotientenfolgen mit uneigentlichen Grenzwerten zu. Seien also (a_{n}) und (b_{n}) Folgen mit b_{n}\neq 0 für alle n\in \mathbb{N} und \left({\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\right) die daraus gebildete Quotientenfolge.

Zunächst setzen wir \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty voraus. Klar ist, dass wir die Fälle \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\pm \infty ausschließen müssen, denn hier können wir keine allgemeine Aussage über das Konvergenz-/Divergenzverhalten der Quotientenfolge machen. Sei daher \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=a\in \mathbb{R} . Dann gilt \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0. Wir müssen dazu zeigen

Sei \epsilon >0 vorgegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=a ist (a_{n}) beschränkt, d.h. es gibt ein K>0 mit |a_{n}|\leq K für alle n\in \mathbb{N} . Weiter gilt, wegen \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\infty , nach der Inversionsregel \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {1}{b_{n}}}=0. Also gibt es ein N\in \mathbb{N} mit \left|{\tfrac {1}{b_{n}}}\right|<{\tfrac {\epsilon }{K}} für alle n\geq N. Damit gilt \forall n\geq N:

Somit ist \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0.

Völlig analog gilt im Fall \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=-\infty und \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=a\in \mathbb{R} ebenfalls \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0.

Zusammen ergibt sich

Nun setzen wir für die Zählerfolge fest: \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty . Wieder müssen wir die Fälle \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\pm \infty ausschließen.

1.Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=b>0. Hier gilt \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty . Zum Beweis haben wir zu zeigen:

Sei S\in \mathbb{R} gegeben. Da \left(b_{n}\right) gegen b>0 konvergiert, gibt es ein N_{1}\in \mathbb{N} , so dass b_{n}\leq {\tfrac {3}{2}}b für alle n\geq N_{1}. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es ein N_{2}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\tfrac {3}{2}}b|S| für alle n\geq N_{2}. Damit gilt für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}:

Also ist \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty .

2.Fall: \lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0 und fast alle b_{n} seien positiv. Hier gilt ebenfalls \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty . Zum Beweis müssen wir erneut zeigen:

Sei S\in \mathbb{R} gegeben. Da \left(b_{n}\right) gegen 0 konvergiert und fast alle Folgenglieder positiv sind, gibt es ein N_{1}\in \mathbb{N} mit b_{n}\leq {\tfrac {1}{2}} für alle n\geq N_{1}. Wegen \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty gibt es ein N_{2}\in \mathbb{N} mit a_{n}\geq {\tfrac {1}{2}}|S| für alle n\geq N_{2}. Damit gilt für alle n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}: Also ist \lim _{{n\to \infty }}{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty .

Zusammengefasst lautet die zweite Version der Quotientenregel

Intuitiv ist dieses Kriterium vollkommen klar. Haben wir eine Folge (x_{n}) gegeben und wissen wir von einer weiteren Folge (y_{n}), dass diese "kleiner oder gleich" (x_{n}) ist für fast alle n\in \mathbb{N} und uneigentlich gegen \infty konvergiert, so muss auch (x_{n}) uneigentlich gegen \infty konvergieren. Beweisen können wir dies folgendermaßen: Wir müssen zeigen

Sei also S\in \mathbb{R} gegeben. Wegen \lim _{{n\to \infty }}y_{n}=\infty gibt es ein {\tilde {N}}\in \mathbb{N} mit y_{n}\geq S für alle n\geq {\tilde {N}}. Wegen x_{n}\geq y_{n} für fast alle n\in \mathbb{N} existiert ein N\geq {\tilde {N}} mit x_{n}\geq y_{n}\geq S für alle n\geq N. Also gilt \lim _{{n\to \infty }}x_{n}=\infty .

Halten wir noch einmal fest: