Spezialfälle der Kettenregel

Wir wollen nun noch ein paar Spezialfälle der Kettenregel aufzählen, die in der Praxis häufig vorkommen. Für die Herleitung der Ableitungen von \exp , \ln , \sin , \cos , x\mapsto x^{n} etc. verweisen wir auf das anschließende Kapitel error: internal links not implemented, yet! .

Fall: f ist linear

Sind a,b\in \mathbb{R} und ist g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} differenzierbar, dann ist auch h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=g(ax+b) differenzierbar und für x\in \mathbb{R} gilt
h'(x)=ag'(ax+b)
Beweis:
Beweis
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f(x)=ax+b ist differenzierbar mit f'(x)=a für alle x\in \mathbb{R} . Mit der Kettenregel ist auch h=g\circ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=g'(ax+b)\cdot a=ag'(ax+b)
Beispiel:
Beispiel
Ist h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=(2x+1)^{2}, d.h. g(x)=x^{2}, dann ist g'(x)=2x für alle x\in \mathbb{R} und damit
h'(x)=2(2x+1)\cdot 2=4(2x+1)

Fall: g ist Potenzfunktion

Ist f:D\to \mathbb{R} differenzierbar, dann ist auch f^{n}:D\to \mathbb{R} differenzierbar für alle n\in \mathbb{N} , und für x\in D gilt
(f^{n})'(x)=nf^{{n-1}}(x)\cdot f'(x)
Beweis:
Beweis
g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ g(x)=x^{n} ist differenzierbar mit g'(x)=nx^{{n-1}} für alle x\in \mathbb{R} . Mit der Kettenregel ist auch f^{n}:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
(f^{n})'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=nf^{{n-1}}(x)\cdot f'(x)=nf(x)f^{{n-1}}(x)
Beispiel: Ableitung von Potenzfunktion
Beispiel
Ist h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=\sin ^{2}(x)=(\sin(x))^{2}, d.h. f(x)=\sin(x), dann ist f'(x)=\cos(x) für alle x\in \mathbb{R} und damit
h'(x)=2\sin(x)^{{2-1}}\cos(x)=2\sin(x)\cos(x)

Fall: g ist Wurzelfunktion

Ist f:D\to \mathbb{R} ^{+} differenzierbar, dann ist auch {\sqrt {f}}:D\to \mathbb{R} ^{+} mit x\mapsto {\sqrt {f(x)}} differenzierbar, und für x\in D gilt
({\sqrt {f}})'(x)={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}
Beweis:
Beweis
g:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ g(x)={\sqrt {x}} ist differenzierbar mit g'(x)={\tfrac {1}{2{\sqrt {x}}}} für alle x\in \mathbb{R} ^{+}. Mit der Kettenregel ist auch {\sqrt {f}}:D\to \mathbb{R} ^{+} differenzierbar, und es gilt
({\sqrt {f}})'(x)=(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {f(x)}}}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}
Beispiel: Ableitung von Potenzfunktion
Beispiel
Ist h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)={\sqrt {\exp(x)}}, d.h. f(x)=\exp(x), dann ist f'(x)=\exp(x) für alle x\in \mathbb{R} und damit
h'(x)={\frac {\exp(x)}{2{\sqrt {\exp(x)}}}}={\frac {{\sqrt {\exp(x)}}}{2}}

Fall: g=\exp

Ist f:D\to \mathbb{R} differenzierbar, dann ist auch \exp \circ f:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und für alle x\in D gilt
(\exp \circ f)'(x)=\exp(f(x))\cdot f'(x)
Beweis:
Beweis
Sei g=\exp :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ist differenzierbar mit \exp '=\exp . Da f:D\to \mathbb{R} nach Voraussetzung differenzierbar ist, ist nach der Kettenregel auch \exp \circ f:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
(\exp \circ f)'(x)=(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\exp(f(x))\cdot f'(x)
Beispiel: Ableitungen von Exponentialfunktionen
Beispiel
1. Ist h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=\exp(x^{2}), d.h. f(x)=x^{2}, dann ist f'(x)=2x für alle x\in \mathbb{R} und damit
h'(x)=\exp(x^{2})\cdot 2x=2x\exp(x^{2})
2. Ist h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ h(x)=\exp(\sin(x)), d.h. f(x)=\sin(x), dann ist f'(x)=\cos für alle x\in \mathbb{R} und damit
h'(x)=\exp(\sin(x))\cdot \cos(x)=\cos(x)\exp(\sin(x))

Sonderfall: Ableiten von „Funktion hoch Funktion“

Ein Sonderfall der exponentiellen Ableitung ist für
f_{1}^{{f_{2}}}=\exp \circ (f_{2}\cdot (\ln \circ f_{1}))
gegeben. Hier ist die innere Funktion f=f_{2}\cdot (\ln \circ f_{1}). Die Ableitung berechnen wir daher, indem wir beim Nachdifferenzieren auf f die Produktregel anwenden.
Beispiel: Ableitungen von Exponentialfunktionen 2
Beispiel
1. Ist h:(0,\infty )\to \mathbb{R} ,\ h(x)=x^{a}=\exp(a\ln(x)), d.h. f(x)=a\ln(x), dann ist f'(x)=a\cdot {\tfrac 1x}={\tfrac ax} für alle x\in (0,\infty ) und damit
h'(x)=\exp(a\ln(x)))\cdot {\frac ax}=ax^{{a-1}}
2. Ist h:(0,\infty )\to \mathbb{R} ,\ h(x)=a^{x}=\exp(x\ln(a)), d.h. f(x)=x\ln(a), dann ist f'(x)=\ln(a) für alle x\in (0,\infty ) und damit
h'(x)=\exp(x\ln(a))\cdot \ln(a)=\ln(a)a^{x}
3. Ist h:(0,\infty )\to \mathbb{R} ,\ h(x)=x^{x}=\exp(x\ln(x)), d.h. f(x)=x\ln(x), dann ist f'(x)=1\cdot \ln(x)+x\cdot {\tfrac 1x}=\ln(x)+1 für alle x\in (0,\infty ) und damit
h'(x)=\exp(x\ln(x))\cdot (\ln(x)+1)=x^{x}(\ln(x)+1)

Fall: g=\ln

Ist f:D\to \mathbb{R} \setminus \{0\} differenzierbar, dann ist auch \ln \circ |f|:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und für alle x\in D gilt
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 6191, line: 116, col: 10 }, end: Position { offset: 6242, line: 116, col: 61 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 6191, line: 116, col: 10 }, end: Position { offset: 6242, line: 116, col: 61 } }, text: "(\\ln \\circ |f|)\'(x)={\\frac {f\'(x)}{f(x)}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 6242, line: 116, col: 61 }, end: Position { offset: 6269, line: 116, col: 88 } }, text: " (Logarithmische Ableitung)" })]!
Beweis:
Beweis
Sei g:\mathbb{R} \setminus \{0\}\to \mathbb{R} ,\ g(x)=\ln(|x|) ist differenzierbar mit g'(x)={\tfrac {1}{x}} für alle x\in \mathbb{R} \setminus \{0\}. Da f:D\to \mathbb{R} \setminus \{0\} nach Voraussetzung differenzierbar ist, ist nach der Kettenregel ist daher auch \ln \circ |f|:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
(\ln \circ |f|)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)={\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}
Beispiel: Logarithmische Ableitungen
Beispiel
1. Ist h:\mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}\to \mathbb{R} ,\ h(x)=\ln(|\cos(x)|), d.h. f(x)=\cos(x), dann ist f'(x)=-\sin(x) für alle x\in \mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \} und damit
h'(x)={\frac {-\sin(x)}{\cos(x)}}=-\tan(x)
2. Ist h:(1,\infty )\to \mathbb{R} ,\ h(x)=\ln(\ln(x)), d.h. f(x)=\ln(x), dann ist f'(x)={\frac 1x} für alle x\in (1,\infty ) und damit
h'(x)={\frac {{\frac 1x}}{\ln(x)}}={\frac {1}{x\ln(x)}}
Verständnisaufgaben:
Beantworte die folgenden Fragen:
  1. Warum ist der Definitionsbereich von h gleich (1,\infty )?
  2. Wie ist der Definitionsbereich und die Ableitung von {\tilde h}:D\to \mathbb{R} ,\ {\tilde h}(x)=\ln(\ln |x|)?
Lösungen:
  1. Es gilt x>1\iff \ln(x)>0\iff \ln(\ln(x)) ist wohldefiniert
  2. Es gilt x>1\vee x<-1\iff |x|>1\iff \ln(|x|)>0\iff \ln(\ln |x|) ist wohldefiniert. Also ist D=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ). Für die Ableitung von {\tilde h} gilt
{\tilde h}'(x)={\frac {1}{\ln |x|}}\cdot {\frac 1x}={\frac {1}{x\ln |x|}}
Hinweis:
Weiter unten werden wir sehen, wie wir mit Hilfe der Logarithmischen Ableitung sehr gut die Ableitungen von Produkt-, Quotienten- oder Potenzfunktionen berechnen können. Dies macht besonders dann Sinn, wenn die Funktion beispielsweise aus mehreren Produkten besteht. (f=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots f_{k})

Linearkombinationen von Funktionen

Die Faktor- und Summenregel besagt, dass die Ableitung linear ist. Wenden wir diese Linearität auf n Funktionen an, so folgt:
Satz: Ableitung von Linearkombinationen von Funktionen
Sei n\in \mathbb{N} _{0}, f_{0},\ldots f_{n}:D\to \mathbb{R} differenzierbar und a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb{R} . Dann ist auch
a_{0}f_{0}+a_{1}f_{1}+\ldots +a_{n}f_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}:D\to \mathbb{R}
differenzierbar, und für alle x\in D gilt
\left(\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}\right)'(x)=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}'(x)
Beweis
Wir zeigen die Aussage sauber mittels vollständiger Induktion über n:
Induktionsanfang: n=0. Für x\in D gilt
\left(\sum _{{k=0}}^{0}a_{k}f_{k}\right)'(x)=(a_{0}f_{0})'(x){\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Faktor-}}}{=}}}}a_{0}f_{0}'(x)=\sum _{{k=0}}^{0}a_{k}f_{k}'(x)
Induktionsvoraussetzung:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 9612, line: 172, col: 10 }, end: Position { offset: 9690, line: 172, col: 88 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 9612, line: 172, col: 10 }, end: Position { offset: 9690, line: 172, col: 88 } }, text: "\\left(\\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}\\right)\'(x)=\\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}\'(x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 9690, line: 172, col: 88 }, end: Position { offset: 9706, line: 172, col: 103 } }, text: " gelte für ein " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 9706, line: 172, col: 103 }, end: Position { offset: 9729, line: 172, col: 126 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 9706, line: 172, col: 103 }, end: Position { offset: 9729, line: 172, col: 126 } }, text: "n\\in \\mathbb{N} _{0}" })] })]!
Induktionsschritt: n\to n+1.
\left(\sum _{{k=0}}^{{n+1}}a_{k}f_{k}\right)'(x){\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Faktor-}}}{=}}}}\left(\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}\right)'(x)+(a_{{n+1}}f_{{n+1}})'(x)={\underset {{\text{Faktorregel}}}{{\overset {{\text{Induktionsvoraussetzung}}}{=}}}}\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}f_{k}'(x)+a_{{n+1}}f_{{n+1}}'(x)=\sum _{{k=0}}^{{n+1}}a_{k}f_{k}'(x)
Beispiel: Differenzierbarkeit von Polynomfunktionen
Beispiel
Die Potenzfunktionen f_{k}:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ f_{k}(x)=x^{k} sind für alle k\in \mathbb{N} _{0} differenzierbar mit
f_{k}'(x)=kx^{{k-1}}
Nach dem Satz von oben ist damit jede Polynomfunktionen
p:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\ k(x)=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}x^{k}
für n\in \mathbb{N} _{0} und a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb{R} differenzierbar mit
p'(x)=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}kx^{{k-1}}=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}kx^{{k-1}}

Anwendung: Herleitung von Summenformeln

Die Linearität der Ableitung können wir verwenden um neue Summenformeln aus bereits bekannten zu gewinnen. Betrachten wir als Beispiel die error: internal links not implemented, yet! für x\in \mathbb{R} \setminus \{1\} und n\in \mathbb{N} :
\sum _{{k=0}}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{{n+1}}}{1-x}}
Beide Seiten der Gleichung können auf \mathbb{R} \setminus \{1\} als differenzierbare Funktionen f bzw. g aufgefasst werden:
{\begin{aligned}f:\mathbb{R} \setminus \{0\}\to \mathbb{R} ,\ f(x)&=\sum _{{k=0}}^{n}x^{k}\\g:\mathbb{R} \setminus \{0\}\to \mathbb{R} ,\ g(x)&={\frac {1-x^{{n+1}}}{1-x}}\end{aligned}}
Da f ein Polynom ist, gilt für x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}:
f'(x)=\sum _{{k=1}}^{n}kx^{{k-1}}
Außerdem gilt mit der Quotientenregel
g'(x)={\frac {-(n+1)x^{{n}}(1-x)-(1-x^{{n+1}})(-1)}{(1-x)^{2}}}={\frac {-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{{n+1}}+1-x^{{n+1}}}{(1-x)^{2}}}={\frac {1-(n+1)x^{n}+nx^{{n+1}}}{(1-x)^{2}}}
Da nun f\equiv g, gilt auch f'\equiv g'. Also gilt für x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}:
\sum _{{k=1}}^{n}kx^{{k-1}}={\frac {1-(n+1)x^{n}+nx^{{n+1}}}{(1-x)^{2}}}
Ergänzungsfrage: Welchen speziellen Summenformeln erhalten wir für x=2 und x=-1?
Für n=2 erhalten wir
\sum _{{k=1}}^{n}k2^{{k-1}}={\frac {1-(n+1)2^{n}+n2^{{n+1}}}{(1-2)^{2}}}={\frac {1-(n+1)2^{n}+2n2^{{n}}}{(-1)^{2}}}=1+(n-1)2^{n}
und für n=-1
\sum _{{k=1}}^{n}(-1)^{{k-1}}k={\frac {1-(n+1)(-1)^{n}+n(-1)^{{n+1}}}{(1+1)^{2}}}={\frac {1-(n+1)(-1)^{n}-n(-1)^{{n}}}{4}}={\tfrac 14}(1-(-1)^{n}(2n+1))={\begin{cases}-{\tfrac n2}&{\text{ für gerade }}n\\{\tfrac {n+1}{2}}&{\text{ für ungerade }}n\end{cases}}

Verallgemeinerung der Produktregel

Die Produktregel (f_{1}f_{2})'=f_{1}'f_{2}+f_{1}f_{2}' lässt sich auch auf mehr als zwei differenzierbare Funktionen anwenden, indem wir zunächst mehrere Funktionen zusammenfassen, und dann die Produktregel mehrfach hintereinander anwenden. Für drei Funktionen ergibt sich
{\begin{aligned}(f_{1}f_{2}f_{3})'&=((f_{1}f_{2})f_{3})'\\&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}(f_{1}f_{2})'f_{3}+(f_{1}f_{2})f_{3}'\\&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}(f_{1}'f_{2}+f_{1}f_{2}')f_{3}+(f_{1}f_{2})f_{3}'\\&=f_{1}'f_{2}f_{3}+f_{1}f_{2}'f_{3}+f_{1}f_{2}f_{3}'\end{aligned}}
Für vier Funktionen erhalten wir analog
{\begin{aligned}(f_{1}f_{2}f_{3}f_{4})'&=((f_{1}f_{2})(f_{3}f_{4}))'\\&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}(f_{1}f_{2})'(f_{3}f_{4})+(f_{1}f_{2})(f_{3}f_{4})'\\&{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}(f_{1}'f_{2}+f_{1}f_{2}')(f_{3}f_{4})+(f_{1}f_{2})(f_{3}'f_{4}+f_{3}f_{4}')\\&=f_{1}'f_{2}f_{3}f_{4}+f_{1}f_{2}'f_{3}f_{4}+f_{1}f_{2}f_{3}'f_{4}+f_{1}f_{2}f_{3}f_{4}'\end{aligned}}
Wir erkennen nun ein klares Bildungsgesetz bei der Ableitung: Das Produkt der Funktionen wird aufsummiert, wobei in jedem Summand die Ableitung um eine Stelle nach „hinten rutscht“. Allgemein erhalten wir so für die Ableitung einer Produktfunktion aus n Funktionen:
Satz: Verallgemeinerte Produktregel
Ist n\in \mathbb{N} und sind f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}:D\to \mathbb{R} differenzierbar, so ist auch die Produktfunktion f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}:D\to \mathbb{R} differenzierbar, und es gilt
(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})'=\sum _{{k=1}}^{n}(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}'\cdot \ldots \cdot f_{n})
Übung: Beweis der verallgemeinerten Produktregel
Beweise die verallgemeinerte Produktregel mittels vollständiger Induktion über n.
Beweis
Induktionsanfang: n=1. Es gilt
f_{1}'=\sum _{{k=1}}^{1}f_{k}'
Induktionsvoraussetzung:
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Induktionsschritt: n\to n+1.
{\begin{aligned}(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}\cdot f_{{n+1}})'&=((f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})\cdot f_{{n+1}})'\\&={\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})'\cdot f_{{n+1}}+(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})\cdot f_{{n+1}}'\\&={\underset {{\text{voraussetzung}}}{{\overset {{\text{Induktions-}}}{=}}}}\left(\sum _{{k=1}}^{n}(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}'\cdot \ldots \cdot f_{n})\right)\cdot f_{{n+1}}+(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})\cdot f_{{n+1}}'\\&=\sum _{{k=1}}^{n}(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}'\cdot \ldots \cdot f_{n}\cdot f_{{n+1}})+(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})\cdot f_{{n+1}}'\\&=\sum _{{k=1}}^{{n+1}}(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}'\cdot \ldots \cdot f_{n}\cdot f_{{n+1}})\end{aligned}}
Beispiel: Verallgemeinerte Produktregel
Beispiel
Die Funktion
f:\mathbb{R} ^{+}\to \mathbb{R} ,\ f(x)=x\exp(x)\ln(x)
ist differenzierbar, da f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=\exp(x) und f_{3}(x)=\ln(x) für alle x\in \mathbb{R} ^{+} differenzierbar sind. Weiter ist
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 16011, line: 298, col: 10 }, end: Position { offset: 16033, line: 298, col: 32 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 16011, line: 298, col: 10 }, end: Position { offset: 16033, line: 298, col: 32 } }, text: "f_{1}\'(x)=1" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 16033, line: 298, col: 32 }, end: Position { offset: 16035, line: 298, col: 34 } }, text: ", " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 16035, line: 298, col: 34 }, end: Position { offset: 16063, line: 298, col: 62 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 16035, line: 298, col: 34 }, end: Position { offset: 16063, line: 298, col: 62 } }, text: "f_{2}\'(x)=\\exp(x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 16063, line: 298, col: 62 }, end: Position { offset: 16068, line: 298, col: 67 } }, text: " und " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 16068, line: 298, col: 67 }, end: Position { offset: 16097, line: 298, col: 96 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 16068, line: 298, col: 67 }, end: Position { offset: 16097, line: 298, col: 96 } }, text: "f_{3}\'(x)={\\frac 1x}" })] })]!
Mit der verallgemeinerten Produktregel folgt daher für alle x\in \mathbb{R} ^{+}:
{\begin{aligned}f'(x)&=1\cdot \exp(x)\ln(x)+x\exp(x)\ln(x)+x\exp(x)\cdot {\frac 1x}\\&=\exp(x)\ln(x)+x\exp(x)\ln(x)+\exp(x)\\&=\exp(x)(\ln(x)+x\ln(x)+1)\end{aligned}}
Übung: Verallgemeinerte Produktregel
Bestimme den Definitionsbereich und die Ableitung der Funktion
f:D\to \mathbb{R} ,\ f(x)=\exp(-x)\sin(x)\cos(x)\tan(x)
Definitionsbereich: Die Funktionen x\mapsto \exp(-x), \sin und \cos sind auf ganz \mathbb{R} definiert. \tan hingegen nur auf \mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}. Daher ist
D=\mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}
Ableitung: f ist differenzierbar, da die Funktionen f_{1}:x\mapsto \exp(-x), f_{2}=\sin , f_{3}=\cos und f_{4}=\tan differenzierbar sind. Weiter gilt für alle x\in D:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 17242, line: 323, col: 10 }, end: Position { offset: 17272, line: 323, col: 40 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17242, line: 323, col: 10 }, end: Position { offset: 17272, line: 323, col: 40 } }, text: "f_{1}\'(x)=-\\exp(-x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17272, line: 323, col: 40 }, end: Position { offset: 17274, line: 323, col: 42 } }, text: ", " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 17274, line: 323, col: 42 }, end: Position { offset: 17301, line: 323, col: 69 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17274, line: 323, col: 42 }, end: Position { offset: 17301, line: 323, col: 69 } }, text: "f_{2}(x)=\\cos(x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17301, line: 323, col: 69 }, end: Position { offset: 17303, line: 323, col: 71 } }, text: ", " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 17303, line: 323, col: 71 }, end: Position { offset: 17331, line: 323, col: 99 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17303, line: 323, col: 71 }, end: Position { offset: 17331, line: 323, col: 99 } }, text: "f_{3}(x)=-\\sin(x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17331, line: 323, col: 99 }, end: Position { offset: 17336, line: 323, col: 104 } }, text: " und " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 17336, line: 323, col: 104 }, end: Position { offset: 17376, line: 323, col: 144 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 17336, line: 323, col: 104 }, end: Position { offset: 17376, line: 323, col: 144 } }, text: "f_{4}\'(x)={\\frac {1}{\\cos ^{2}(x)}}" })] })]!
Nach der verallgemeinerten Produktregel gilt daher
{\begin{aligned}f'(x)&=-\exp(-x)\sin(x)\cos(x)\tan(x)+\exp(-x)\cos(x)\cos(x)\tan(x)+\exp(-x)\sin(x)(-\sin(x))\tan(x)+\exp(-x)\sin(x)\cos(x){\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\\&=-\exp(-x)\sin(x)\cos(x)\tan(x)+\exp(x)\cos ^{2}(x)\tan(x)-\exp(x)\sin ^{2}(x)\tan(x)+{\frac {\exp(x)\sin(x)}{\cos(x)}}\\&=\exp(-x)(-\sin(x)\cos(x)\tan(x)+\cos ^{2}(x)\tan(x)-\sin ^{2}(x)\tan(x)+\tan(x))\\&=\exp(-x)\tan(x)(-\sin(x)\cos(x)+\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)+1)\end{aligned}}
Hinweis:
Gilt bei der verallgemeinerten Produktregel zusätzlich f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\cdot \ldots \cdot f_{n}(x)\neq 0 für alle x\in D, so können wir beide Seiten durch dieses Produkt teilen, und erhalten so die Form
{\frac {(f_{1}f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})'}{f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}}}=\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}'\cdot \ldots \cdot f_{n}}{f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}}}=\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}}
Der Vorteil bei dieser Darstellung ist, dass die Summe auf der rechten Seite wesentlich übersichtlicher ist. Genau diese Idee steckt hinter der logarithmischen Ableitung , die wir im nächsten Abschnitt vorstellen.

Logarithmische Ableitung

Die logarithmische Ableitung ist ein sehr elegantes Hilfsmittel, um die Ableitung von verschachtelten Funktionen zu berechnen. Für eine differenzierbare Funktion f ohne Nullstellen ist die Logarithmische Ableitung definiert durch
L(f)=(\ln \circ |f|)'
Wir haben oben schon gezeigt, dass mit der Kettenregel gilt:
L(f)={\frac {f'}{f}}
In der folgenden Tabelle sind einige Standardbeispiele von logarithmischen Ableitungen aufgelistet:
f \operatorname {L}(f)
Definitionsbereich
c\in \mathbb{R} \setminus \{0\} {\tfrac 0c}=0
\mathbb{R}
x^{n}, n\in \mathbb{N} {\tfrac {nx^{{n-1}}}{x^{n}}}={\tfrac {n}{x}}
\mathbb{R} \setminus \{0\}
\exp(x) {\tfrac {\exp(x)}{\exp(x)}}=1
\mathbb{R}
\ln(x) {\tfrac {{\tfrac 1x}}{\ln(x)}}={\tfrac {1}{x\ln(x)}}
\mathbb{R} ^{+}\setminus \{1\}
\sin(x) {\tfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}=\cot(x)
\mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}
\cos(x) {\tfrac {-\sin(x)}{\cos(x)}}=-\tan(x)
\mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}
\tan(x) {\tfrac {{\tfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}}{\tan(x)}}={\tfrac {1}{\sin(x)\cos(x)}}
\mathbb{R} \setminus \{k{\tfrac {\pi }{2}}\mid k\in \mathbb{Z} \}
Übung: Logarithmische Ableitungen berechnen
Bestimme die logarithmische Ableitung (mit Definitionsbereich) der folgenden Funktionen
  1. f(x)={\sqrt {x}}
  2. g(x)=\cot(x)={\tfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}
  3. h(x)=x^{a}=\exp(a\ln(x)) mit a\in \mathbb{R}
Teilaufgabe 1: Es gilt f'(x)={\tfrac {1}{2{\sqrt {x}}}} für alle x\in \mathbb{R} ^{+}. Damit ist
L(f)(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{{\sqrt x}}}={\frac {1}{2x}}
Da f(x)={\sqrt {x}}\neq 0 für alle x\in \mathbb{R} ^{+} ist der Definitionsbereich der logarithmischen Ableitung von f gleich \mathbb{R} ^{+}.
Teilaufgabe 2: Mit der Quotientenregel gilt
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 21018, line: 391, col: 10 }, end: Position { offset: 21148, line: 391, col: 140 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 21018, line: 391, col: 10 }, end: Position { offset: 21148, line: 391, col: 140 } }, text: "g\'(x)={\\tfrac {-\\sin(x)\\sin(x)-\\cos(x)\\cos(x)}{\\sin ^{2}(x)}}=-{\\tfrac {\\sin ^{2}(x)+\\cos ^{2}(x)}{\\sin ^{2}(x)}}=-{\\tfrac {1}{\\sin ^{2}(x)}}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 21148, line: 391, col: 140 }, end: Position { offset: 21159, line: 391, col: 150 } }, text: " für alle " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 21159, line: 391, col: 150 }, end: Position { offset: 21215, line: 391, col: 206 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 21159, line: 391, col: 150 }, end: Position { offset: 21215, line: 391, col: 206 } }, text: "x\\in \\mathbb{R} \\setminus \\{k\\pi \\mid k\\in \\mathbb{Z} \\}" })] })]!
Damit ist
L(g)(x)={\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}}{{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}}}=-{\frac {1}{\sin(x)\cos(x)}}
Da g(x)={\tfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}\neq 0\iff x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \ (k\in \mathbb{Z} ) für alle x\in \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \} ist der Definitionsbereich der logarithmischen Ableitung von g gleich \mathbb{R} \setminus \{k{\tfrac {\pi }{2}}\mid k\in \mathbb{Z} \}.
Teilaufgabe 3: Für x\in \mathbb{R} ^{+} gilt
L(h)(x)=[\ln(|h(x)|)]'=[\ln(\exp(a\ln(x)))]'=(a\ln(x))'={\frac {a}{x}}
Da h(x)=\exp(a\ln(x))\neq 0 für alle x\in \mathbb{R} ^{+} ist der Definitionsbereich von L(h) gleich \mathbb{R} ^{+}.
Durch direktes Nachrechnen erhalten wir für die logarithmische Ableitung die folgenden Rechenregeln:
Satz: Rechenregeln für logarithmische Ableitung
Für zwei differenzierbare Funktionen f und g ohne Nullstellen gilt
  1. L(f\cdot g)=L(f)+L(g)
  2. L({\tfrac 1f})=-L(f)
  3. L({\tfrac fg})=L(f)-L(g)
  4. L(f^{n})=nL(f) für n\in \mathbb{N}
  5. L({\sqrt {f}})={\tfrac 12}L(f) für f>0
ErklärungHinweis: Die Regeln sind analog zu den Rechenregeln für die Logarithmusfunktion.
Beweis
Wir beweisen nur Regel 1 und Regel 4. Die anderen drei überlassen wir euch als Übungsaufgabe.
Regel 1: Da f und g differenzierbar und nullstellenfrei sind, ist auch f\cdot g differenzierbar und nullstellenfrei. Damit gilt
L(fg)={\frac {(fg)'}{fg}}{\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}{\frac {f'g+fg'}{fg}}={\frac {f'g}{fg}}+{\frac {fg'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}=L(f)+L(g)
Regel 4: Da f differenzierbar und nullstellenfrei ist, ist auch f^{n} für n\in \mathbb{N} differenzierbar und nullstellenfrei. Weiter oben hatten wir mit Hilfe der Kettenregel schon (f^{n})'=nf^{{n-1}}f' gezeigt. Damit ist
L(f^{n})={\frac {(f^{n})'}{f^{n}}}={\frac {nf^{{n-1}}f'}{f^{n}}}=n{\frac {f'}{f}}=nL(f)
Übung: Rechenregeln für die logarithmische Ableitung
Beweise die Regeln 2, 3 und 5 des vorherigen Satzes
Beweis
Regel 2: Da f differenzierbar und nullstellenfrei sind, ist auch {\frac 1f} differenzierbar und nullstellenfrei. Mit der Kettenregel gilt ({\tfrac 1f})'=-{\tfrac {1}{f^{2}}}\cdot f'=-{\tfrac {f'}{f^{2}}}. Damit gilt
L({\tfrac 1f})={\frac {({\tfrac 1f})'}{{\tfrac 1f}}}={\frac {-{\tfrac {f'}{f^{2}}}}{{\tfrac 1f}}}=-{\frac {f'f}{f^{2}}}=-{\frac {f'}{f}}=-L(f)
Regel 3: Da f und g differenzierbar und nullstellenfrei sind, ist auch {\tfrac fg} differenzierbar und nullstellenfrei. Unter Verwendung von Regel 1 und 2 erhalten wir nun
L({\tfrac fg})=L(f\cdot {\tfrac 1g}){\overset {{\text{Regel 1}}}{=}}L(f)+L({\tfrac 1g}){\overset {{\text{Regel 2}}}{=}}L(f)-L(g)
Alternativ kann man die Regel auch mit Hilfe der Quotientenregel beweisen.
Regel 5: Da f differenzierbar und positiv sind, ist auch {\sqrt {f}} differenzierbar und positiv. Mit der Kettenregel gilt ({\sqrt f})'={\tfrac {1}{2{\sqrt f}}}\cdot f'={\tfrac {f'}{2{\sqrt f}}}. Damit gilt
L({\sqrt f})={\frac {({\sqrt f})'}{{\sqrt f}}}={\frac {{\tfrac {f'}{2{\sqrt f}}}}{{\sqrt f}}}={\frac {f'}{2{\sqrt f}{\sqrt f}}}={\frac {f'}{2f}}={\frac 12}L(f)
Hinweis:
Die Summenregel lässt sich für nullstellenfreie und differenzierbare f_{1},\ldots ,f_{n} (n\in \mathbb{N} ) noch verallgemeinern zu
L(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n})=L(f_{1})+\ldots +L(f_{n})\iff {\frac {(f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n})'}{f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}
Mit Hilfe der Regeln können wir nun Ableitungen berechnen. Der Übergang zur logarithmischen Ableitung bringt zwar meist nicht weniger Rechenaufwand, ist aber wesentlich übersichtlicher als die Berechnung mit den üblichen Regeln, und daher weniger anfällig gegenüber Flüchtigkeitsfehlern.
Beispiel: Logarithmische Ableitung 1
Beispiel
Als erstes differenzieren wir mit Hilfe der logarithmischen Ableitung die Produktfunktion
f(x)=xe^{x}\cos(x)
Zunächst bestimmen wir den zulässigen Definitionsbereich: Es ist f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=e^{x} und f_{3}(x)=\cos(x). Damit wir die die logarithmische Ableitung bilden können, müssen f_{1},f_{2} und f_{3} nullstellenfrei sein. Wegen f_{3} wählen wir daher D=\mathbb{R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \}.
Nun bilden wir die logarithmische Ableitung von f: Es gilt
\underbrace {L(f(x))}_{{{\frac {f'(x)}{f(x)}}}}=L(f_{1}\cdot f_{2}\cdot f_{3}){\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Produkt-}}}{=}}}}L(f_{1}(x))+L(f_{2}(x))+L(f_{3}(x))={\frac {f_{1}'(x)}{f_{1}(x)}}+{\frac {f_{2}'(x)}{f_{2}(x)}}+{\frac {f_{3}'(x)}{f_{3}(x)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {e^{x}}{e^{x}}}+{\frac {-\sin(x)}{\cos(x)}}={\frac {1}{x}}+1-{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}
Zuletzt multiplizieren wir die Gleichung mit f(x)=xe^{x}\cos(x) durch, und erhalten
f'(x)={\frac {1}{x}}\cdot f(x)+1\cdot f(x)-{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\cdot f(x)=e^{x}\cos(x)+xe^{x}\cos(x)-xe^{x}\sin(x)=e^{x}(\cos(x)+x\cos(x)-x\sin(x))
Beispiel: Logarithmische Ableitung 2
Beispiel
Als nächstes differenzieren wir die folgende Quotientenfunktion „logarithmisch“
{\tilde f}(x)={\frac {(x-1)^{2}}{x^{2}+1}}
Zum Definitionsbereich: Der Nenner ist immer ungleich null. Damit {\tilde f} nullstellenfrei ist muss der Zähler ungleich null sein. Es muss also gelten
(x-1)^{2}\neq 0\iff x\neq 1
Daher ist der Definitionsbereich gleich D=\mathbb{R} \setminus \{1\}.
Mit f(x)=(x-1)^{2} und g(x)=x^{2}+1 gilt für die logarithmische Ableitung von {\tilde f}
\underbrace {L({\tilde f}(x))}_{{{\frac {{\tilde f}'(x)}{{\tilde f}(x)}}}}=L({\tfrac {f(x)}{g(x)}}){\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Quotienten-}}}{=}}}}L(f(x))-L(g(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {2(x-1)}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2x}{x^{2}+1}}={\frac {2}{x-1}}-{\frac {2x}{x^{2}+1}}
Durch Multiplikation mit {\tilde f}(x)={\frac {(x-1)^{2}}{x^{2}+1}} erhalten wir
{\begin{aligned}{\tilde f}'(x)&={\frac {2}{x-1}}\cdot {\tilde f}(x)-{\frac {2x}{x^{2}+1}}\cdot {\tilde f}(x)={\frac {2(x-1)}{x^{2}+1}}-{\frac {2x(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)}}={\frac {2(x-1)(x^{2}+1)-2x(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {2(x-1)[(x^{2}+1)-x(x-1)]}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2(x-1)[x+1]}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2(x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}
Beispiel: Logarithmische Ableitung 3
Beispiel
Zuletzt differenzieren wir mit der logarithmischen Ableitung noch
{\hat f}(x)=x^{{{\tfrac 1x}}}=\exp({\tfrac 1x}\ln(x))=\exp({\tfrac {\ln(x)}{x}})
Zum Definitionsbereich: Damit {\hat f} definiert ist, muss x>0 gelten. {\hat f} ist auf ganz \mathbb{R} ^{+} nullstellenfrei. Also ist D=\mathbb{R} ^{+}.
Die logarithmische Ableitung von {\hat f} ist
\underbrace {L({\hat f}(x))}_{{={\frac {{\hat f}'(x)}{{\hat f}(x)}}}}=[\ln(f(x))]'=[\ln(\exp({\tfrac {\ln(x)}{x}}))]'=[{\tfrac {\ln(x)}{x}}]'={\frac {{\tfrac 1x}\cdot x-\ln(x)\cdot 1}{x^{2}}}={\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}
Durch Multiplikation mit {\hat f}(x)=x^{{{\tfrac 1x}}} erhalten wir
{\hat f}'(x)=x^{{{\tfrac 1x}}}({\tfrac {1-\ln(x)}{x^{2}}})=x^{{{\tfrac 1x}-2}}(1-\ln(x))
Übung: Logarithmische Ableitung
Differenziere, mit Hilfe der logarithmischen Ableitungen, die folgenden Funktionen, auf deren Definitionsbereich:
  1. f(x)=\sin(x)\cos(x)\tan(x)
  2. g(x)={\frac {{\sqrt {x-1}}}{(x+1)^{2}}}
  3. h(x)=x^{{{\sqrt {x}}}}

Verallgemeinerte Kettenregel

Genau wie die Summen- und Produktregel, lässt sich auch die Kettenregel auf die Komposition von mehr als zwei Funktionen verallgemeinern. Für zwei differenzierbare Funktionen f_{1} und f_{2} lautet die Kettenregel
(f_{1}\circ f_{2})'(x)=(f_{1}'(f_{2}(x))\cdot f_{2}'(x)
Wenden wir diese auf drei Funktionen f_{1}, f_{2} und f_{3} an, so erhalten wir durch zweimaliges Anwenden der Regel
(f_{1}\circ f_{2}\circ f_{3})'(x)=(\underbrace {(f_{1}\circ f_{2})}_{{=h}}\circ f_{3})'(x)=\underbrace {(f_{1}\circ f_{2})'(f_{3}(x))}_{{=h'(f_{3}(x))}}\cdot f_{3}'(x)=f_{1}'(f_{2}(f_{3}(x)))\cdot f_{2}'(f_{3}(x))\cdot f_{3}'(x)
Wenn wir nun genau hinsehen, erkennen wir das Bildungsgesetz: Zunächst wird die äußerste Funktion abgeleitet, und die beiden inneren in die Ableitungsfunktion eingesetzt. Anschließend wird die zweite Funktion abgeleitet, und die innerste eingesetzt, und das ganze mit der vorderen Ableitung multipliziert. Zuletzt wird noch die innerste Funktion abgeleitet und dazumultipliziert. Verallgemeinern wir dies nun auf n Funktionen, so erhalten wir:
Satz: Verallgemeinerte Kettenregel
Seien f_{i}:D_{i}\to \mathbb{R} differenzierbar für aller i\in \{1,\ldots ,n\}, und f_{{i+1}}(D_{{i+1}})\subseteq D_{i} für alle i\in \{0,\ldots ,n-1\}. Dann ist auch f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n}:D_{1}\to \mathbb{R} differenzierbar, und für alle x\in D_{1} gilt
(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})'(x)=f_{1}'(f_{2}(\ldots f_{{n-1}}(f_{n}(x))\ldots ))\cdot f_{2}'(f_{3}(\ldots f_{{n-1}}(f_{n}(x))\ldots ))\cdot \ldots \cdot f_{{n-1}}'(f_{n}(x))\cdot f_{n}'(x)
Beweis
Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über n:
Induktionsanfang: n=1. Es gilt
f_{1}'=f_{1}'
n=2. Hier gilt die Kettenregel
(f_{1}\circ f_{2})'(x)=f_{1}'(f_{2}(x))\cdot f_{2}'(x)
Induktionsvoraussetzung:
error: the content of "formula" is not only a math element, but [Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 31697, line: 558, col: 10 }, end: Position { offset: 31889, line: 558, col: 202 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 31697, line: 558, col: 10 }, end: Position { offset: 31889, line: 558, col: 202 } }, text: "(f_{1}\\circ f_{2}\\circ \\ldots \\circ f_{n})\'(x)=f_{1}\'(f_{2}(\\ldots f_{{n-1}}(f_{n}(x))\\ldots ))\\cdot f_{2}\'(f_{3}(\\ldots f_{{n-1}}(f_{n}(x))\\ldots ))\\cdot \\ldots \\cdot f_{{n-1}}\'(f_{n}(x))\\cdot f_{n}\'(x)" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 31889, line: 558, col: 202 }, end: Position { offset: 31906, line: 558, col: 218 } }, text: " gelte für alle " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 31906, line: 558, col: 218 }, end: Position { offset: 31928, line: 558, col: 240 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 31906, line: 558, col: 218 }, end: Position { offset: 31928, line: 558, col: 240 } }, text: "x\\in D_{1}" })] }), Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 31928, line: 558, col: 240 }, end: Position { offset: 31937, line: 558, col: 249 } }, text: " und ein " }), Formatted(Formatted { position: Span { start: Position { offset: 31937, line: 558, col: 249 }, end: Position { offset: 31958, line: 558, col: 270 } }, markup: Math, content: [Text(Text { position: Span { start: Position { offset: 31937, line: 558, col: 249 }, end: Position { offset: 31958, line: 558, col: 270 } }, text: "n\\in \\mathbb{N} " })] })]!
Induktionsschritt: n\to n+1. Für x\in D_{1} gilt
{\begin{aligned}(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n}\circ f_{{n+1}})'(x)&=(\underbrace {(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})}_{{=h}}\circ f_{{n+1}})'(x)\\&={\underset {{\text{regel}}}{{\overset {{\text{Ketten-}}}{=}}}}\underbrace {(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})'(\overbrace {f_{{n+1}}(x)}^{{{\tilde x}}})}_{{=h'({\tilde x})}}\cdot f_{{n+1}}'(x)\\&={\underset {{\text{voraussetzung}}}{{\overset {{\text{Induktions-}}}{=}}}}f_{1}'(f_{2}(\ldots f_{{n-1}}(f_{{n}}(\overbrace {f_{{n+1}}(x)}^{{={\tilde x}}}))\ldots ))\cdot f_{2}'(f_{3}(\ldots f_{{n-1}}(f_{{n}}(\overbrace {f_{{n+1}}(x)}^{{={\tilde x}}}))\ldots ))\cdot \ldots \cdot f_{{n}}'(\overbrace {f_{{n+1}}(x)}^{{={\tilde x}}})\cdot f_{{n+1}}'(x)\end{aligned}}