Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Menge veranschaulichen:
Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.
Hypothese über Supremum und Infimum anstellen:
Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.
Beweise für Supremum und Infimum finden:
Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.
Beweis ins Reine schreiben:
Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.
Allgemeine Beweisstrukturen
Die hier aufgelisteten Beweisstrukturen sollten dir helfen, deine Beweise richtig und sauber aufzuschreiben. Sie zeigen dir aber auch, worauf du in der Beweisfindung achten musst.
Supremum: Beweisstruktur
Um zu zeigen, dass eine Zahl s Supremum einer Menge M ist, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Beweise, dass s eine obere Schranke von M ist:
Zeige hierzu, dass y\leq s für alle y\in M ist.
Beweise, dass keine Zahl x<s obere Schranke von M ist:
Nimm hierzu ein beliebiges x<s und zeige, dass es ein y\in M gibt mit y>x.
Infimum: Beweisstruktur
Beweise, dass {\tilde s} Infimum einer Menge M ist, können so aussehen:
Beweise, dass {\tilde s} eine untere Schranke von M ist:
Zeige hierzu, dass y\geq {\tilde s} für alle y\in M ist.
Beweise, dass keine Zahl x>{\tilde s} untere Schranke von M ist:
Nimm hierzu ein beliebiges x>{\tilde s} und zeige, dass es ein y\in M gibt mit y<x.
Maximum: Beweisstruktur
Hier kann man direkt der Definition des Maximums folgen:
Beweise, dass m eine obere Schranke von M ist:
Zeige hierzu, dass y\leq m für alle y\in M ist.
Zeige, dass m\in M ist.
Minimum: Beweisstruktur
Um zu zeigen, dass {\tilde m} Minimum der Menge M ist, kann man analog zum Maximum vorgehen:
Beweise, dass {\tilde m} eine untere Schranke von M ist:
Zeige hierzu, dass y\geq {\tilde m} für alle y\in M ist.
Zeige, dass {\tilde m}\in M ist.
Beispielaufgaben für Supremum und Infimum
Endliche Mengen
Bei endlichen Mengen reeller Zahlen ist die Bestimmung des Infimums und Supremums einfach. Diese Mengen müssen nämlich immer ein Maximum und ein Minimum besitzen. Das Maximum der Menge ist automatisch Supremum und das Minimum ist automatisch Infimum der Menge.
Beispiel: Supremum und Infimum einer endlichen Menge
Beispiel
Gegeben sei die Menge M=\{23,\,42,\,-1,\,5\}. Das Maximum der Menge ist 42 und das Minimum ist -1. Es ist nämlich 42 Teil der Menge und gleichzeitig ist 42 größer gleich jedem anderen Element der Menge (Analoges gilt für das Minimum -1).
Damit ist 42 Supremum der Menge M (weil es dessen Maximum ist). Analog ist -1 Infimum der Menge.
Verständnisaufgabe:
Bestimme das Supremum und das Infimum der folgenden Mengen:
Das Supremum von M_{1} ist 99 und das Infimum dieser Menge ist -5.
Es ist \{(-1)^{k}\cdot 2^{{-k}}:1\leq k\leq 5\land k\in \mathbb{N} \}=\left\{-{\tfrac 12},\,{\tfrac 14},-{\tfrac 18},{\tfrac 1{16}},-{\tfrac 1{32}}\right\}. Damit ist das Supremum dieser Menge gleich {\tfrac 14} und das Infimum ist -{\tfrac 12}.
Es ist \{\pi ,\,{\sqrt 2},\,1\}\cap \{{\sqrt 2},\,-1,\,4\}=\{{\sqrt 2}\}. Also ist das Supremum und das Infimum von M_{3} gleich {\sqrt 2}.
Intervalle
error: non-centered image not implemented, yet!
Die Bestimmung des Infimums und Supremums bei Intervallen ist recht einfach, da der untere Randpunkt stets das Infimum und der obere Randpunkt stets das Supremum ist:
Satz: Supremum und Infimum von Intervallen
Sei I ein Intervall. Es gibt also a,b\in \mathbb{R} mit a<b, so dass I eine der folgenden Formen besitzt:
I=[a,b]
I=(a,b]
I=[a,b)
I=(a,b)
Es ist dann a das Infimum und b das Supremum des Intervalls.
Wie komme ich auf den Beweis?
Die obigen Intervalle unterscheiden sich darin, ob die Endpunkte a, b enthalten sind oder nicht. In jedem Fall wissen wir, dass für jedes x\in I gilt: a\leq x\leq b. Wir wissen also, dass a eine untere Schranke ist und b eine obere. Damit ist a\leq \inf I, b\geq \sup I und wir müssen noch zeigen, dass a die größte
untere Schranke und b die kleinste
obere Schranke ist.
Dazu nehmen wir also an, es gäbe ein {\tilde {a}}>a, so dass {\tilde {a}} auch eine untere Schranke ist, und führen dies zu einem Widerspruch.
Um zu zeigen, dass {\tilde {a}} keine untere Schranke sein kann, finden wir ein x\in I, so dass x<{\tilde {a}}. Um so ein x zu konstruieren, bilden wir den Mittelwert zwischen a und {\tilde {a}}, der nach Definition größer als a ist. Es könnte passieren, dass {\tilde {a}} so groß ist, dass der Mittelwert größer als b wird. Hier bietet sich eine Fallunterscheidung an. Wenn {\tilde a} so groß ist, dann liegt das komplette Intervall zwischen a und {\tilde a} und wir können einen beliebigen Punkt des Intervalls für x nutzen. So können wir den Mittelwert von a und b für x wählen. Analog verfährt man dann mit der oberen Schranke b.
Beweis
Sei I ein Intervall. Wir legen uns nicht fest, ob die Randpunkte in I enthalten sind. Damit decken wir alle Intervalltypen auf einmal ab. Für jedes solche Intervall gilt: a\leq x. Also ist a eine untere Schranke. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass a die größte untere Schranke ist.
Sei also {\tilde {a}}>a. Angenommen {\tilde {a}} wäre eine untere Schranke von I. Dann existiert kein x\in I, so dass x<{\tilde {a}}. Wir machen nun eine Fallunterscheidung:
Fall 1:
{\tilde a}>b
Sei x:={\tfrac {a+b}2}. Mit unseren Voraussetzungen können wir abschätzen
Weil a<{\tilde a} gilt, folgt x={\tfrac {a+{\tilde a}}2}<{\tfrac {{\tilde a}+{\tilde a}}2}={\tilde a}. Das ist aber wieder ein Widerspruch zu {\tilde a} ist eine untere Schranke von I.
TODO: Skizze, um die Lage von x im Intervall zu veranschaulichen, für die beiden Fälle.
In beiden Fällen haben wir ein Widerspruch dazu, dass {\tilde {a}} eine untere Schranke von I ist. Also ist a das Infimum des Intervalls I.
Um zu zeigen, dass b das Supremum ist, kann man analog vorgehen. Ist {\tilde b} eine kleinere obere Schranke von I, betrachtet man x:={\tfrac {a+b}2} für den Fall {\tilde b}<a und x:={\tfrac {b+{\tilde b}}2} für den Fall {\tilde b}\geq a.
Alternativ kann man auch mit den error: internal links not implemented, yet!
folgenden Trick benutzen: Benutzen wir \sup(I)=-\inf(-I), können wir den obigen Beweis auf das Intervall -I=[-b,-a] anwenden.
Verständnisaufgabe:
Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum der folgenden Mengen:
M_{1}=(-1,3]
M_{2}=\{x\in \mathbb{R} :2\leq 2x\leq 8\}
M_{3}=\{x\in \mathbb{R} :|x-1|<4\}
M_{4}=\{\sin(x):x\in \mathbb{R} \} (bei dieser Aufgabe darfst du dein Schulwissen zum Sinus verwenden 😃)
Das Supremum ist 3 und das Infimum ist -1.
Wegen 2\leq 2x\leq 8\iff 1\leq x\leq 4 entspricht M_{2} dem Intervall [1,4]. Damit ist das Infimum gleich 1 und das Supremum gleich 4.
M_{3} entspricht der Menge aller x deren Abstand zu 1 kleiner als 4 ist. Damit entspricht diese Menge dem offenen Intervall (1-4,1+4)=(-3,5). Das Infimum ist also -3 und das Supremum ist 5.
M_{4} ist die Menge aller reellen Zahlen, die durch die Sinus-Funktion getroffen werden. Damit ist M_{4} gleich [-1,1]. Das Infimum von M_{4} ist damit -1 und das Supremum ist 1.
Intervalle in den ganzen Zahlen
Verständnisaufgabe:
Obiger Satz ist eine Besonderheit der reellen Zahlen. Es sei a,b\in \mathbb{Z} mit a<b. Unter welchen Bedingungen existieren Suprema beziehungsweise Infima folgender Intervalle? Welchen Wert haben sie?
[a,b]\cap \mathbb{Z}
(a,b]\cap \mathbb{Z}
[a,b)\cap \mathbb{Z}
(a,b)\cap \mathbb{Z}
Es handelt sich in allen Fällen um endliche Mengen. Es ist nämlich:
In den ersten 3 Fällen ist wegen a<b die Menge nicht leer, und damit ist
\sup([a,b]\cap \mathbb{Z} )=b und \inf([a,b]\cap \mathbb{Z} )=a
\sup((a,b]\cap \mathbb{Z} )=b und \inf((a,b]\cap \mathbb{Z} )=a+1
\sup([a,b)\cap \mathbb{Z} )=b-1 und \inf([a,b)\cap \mathbb{Z} )=a
Im vierten Fall kann es passieren, dass (a,b)\cap \mathbb{Z} leer ist. Das ist genau dann der Fall, wenn a+1=b. In diesem Fall existiert weder ein Supremum noch ein Infimum der Menge. Die leere Menge hat zwar das uneigentliche
Supremum \sup \emptyset =-\infty und das uneigentliche
Infimum \inf \emptyset =\infty . Diese sind aber keine reellen Zahlen und damit keine Suprem / Infimum nach der Definition. Ist aber a+1\neq b, dann ist im vierten Fall das Supremum gleich b-1 und das Infimum gleich a+1.
Menge von Folgengliedern
error: non-centered image not implemented, yet!
Wir werden nun folgende Aufgabe beweisen:
Übung: Menge von Folgengliedern
Bestimme das Supremum und das Infimum der Menge M=\left\{5+{\tfrac 2n}:n\in \mathbb{N} \right\}. Handelt es sich bei dem Supremum um ein Maximum und beim Infimum um ein Minimum? Beweise deine Behauptungen!
Wie komme ich auf den Beweis?
Wir gehen nun schrittweise nach dem obigen Beweisverfahren vor:
Beweisschritt: Veranschauliche die Menge M.
Die ersten Elemente der Menge M lauten:
5+{\tfrac 21}=7\implies 7\in M
5+{\tfrac 22}=6\implies 6\in M
5+{\tfrac 23}=5{\tfrac 23}\implies 5{\tfrac 23}\in M
5+{\tfrac 24}=5{\tfrac 12}\implies 5{\tfrac 12}\in M
⋮
Die Menge M hat also die Gestalt M=\left\{7,6,5{\tfrac 23},5{\tfrac 12},5{\tfrac 25},\dots \right\}, wobei sich die fehlenden Elemente immer mehr der 5 annähern.
Beweisschritt: Stelle eine Hypothese an, welche Zahlen Supremum bzw. Infimum der Menge sind.
Wir sehen, dass die Menge nach oben durch 7 beschränkt ist. Gleichzeitig ist 7 ein Element der Menge, womit 7 Maximum der Menge sein muss. Außerdem ist die Menge nach unten durch 5 beschränkt. Da sich die Elemente der Menge immer mehr der 5 annähern, kann es keine untere Schranke größer als 5 geben. Es folgt, dass 5 wahrscheinlich das Infimum der Menge ist. Beachte, dass wir hier nur Vermutungen anstellen, weil wir intuitiv argumentieren. Es fehlt noch der handfeste Beweis.
Beweisschritt: Finde einen Beweis für das Supremum / Maximum.
Wir haben bereits festgestellt, dass 7 wahrscheinlich das Maximum der Menge ist. Wir müssen also zwei Dinge zeigen:
7\in M
7\geq x für alle x\in M
Wir haben bereits im ersten Schritt gesehen, dass 7 Element von M ist, denn für n=1 ist 5+{\tfrac 2n}=7. Um zu zeigen, dass 7 eine obere Schranke von M ist, müssen wir zeigen, dass 7\geq 5+{\tfrac 2n}. Stellen wir diese Ungleichung schrittweise um:
Nun ist n\geq 1 eine für natürliche Zahlen offensichtliche Aussage. Im Beweis müssen wir aber den umgekehrten Weg gehen: Da wir die Ungleichung 7\geq 5+{\tfrac 2n} zeigen wollen, müssen wir bei n\geq 1 anfangen und diese Ungleichung schrittweise in 7\geq 5+{\tfrac 2n} umformen. Dies können wir machen, weil wir oben nur Äquivalenzumformungen verwendet haben.
Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass jedes Maximum einer Menge automatisch auch das Supremum der Menge ist (nur umgekehrt ist es nicht immer der Fall). Daraus folgt, dass 7 Supremum von M ist.
Beweisschritt: Finde einen Beweis für das Infimum / Minimum.
Um zu zeigen, dass 5 Infimum ist, müssen wir zeigen:
5\leq x für alle x\in M
Für alle y>5 gibt es ein x\in M mit x<y
Um auch zu zeigen, dass 5 kein Minimum ist, haben wir außerdem zu beweisen, dass 5\notin M. Zunächst muss ein Beweis für 5\leq 5+{\tfrac 2n} für alle n\in \mathbb{N} gefunden werden:
Nun ist 0\leq {\tfrac 2n} eine offensichtlich wahre Aussage, da {\tfrac 2n} positiv ist. Im späteren Beweis können wir also aus 0\leq {\tfrac 2n} die Ungleichung 5\leq 5+{\tfrac 2n} beweisen, indem wir obige Umformung rückwärts durchführen (also zu beiden Seiten 5 addieren).
Sei nun weiterhin y>5 beliebig. Wir müssen nun ein x mit x=5+{\tfrac 2N} mit N\in \mathbb{N} finden, so dass y>x=5+{\tfrac 2N} ist. Wir wählen hier die Variable N und nicht n, weil wir ein konkretes
Element der Menge M finden wollen (in der Mathematik wird oft N verwendet, wenn man ein konkretes n sucht). Formen wir diese Ungleichung nach N um, um so ein passendes N\in \mathbb{N} zu finden:
Wegen y>5 ist y-5>0, also auch {\tfrac {y-5}2}>0. Das archimedische Axiom garantiert uns nun, dass wir ein passendes N finden, da nach dem archimedischen Axiom der Bruch {\tfrac 1N} kleiner wird als jede positive reelle Zahl.
Als Letztes fehlt noch die Beweisidee dafür, dass 5\notin M ist. Hier müssen wir zeigen, dass 5\neq 5+{\tfrac 2n} für alle n\in \mathbb{N} gilt. Doch wegen {\tfrac 2n}>0 ist 5+{\tfrac 2n}>5 und somit 5\neq 5+{\tfrac 2n}.
Beweis
Es ist 7 Maximum (und damit Supremum) der Menge M und 5 ist Infimum, aber kein Minimum der Menge M.
Beweisschritt: 7 ist Maximum der Menge M
Beweisschritt: 7 ist Element der Menge M
Für n=1 ist 5+{\tfrac 2n}=7. Damit ist 7\in M.
Beweisschritt: 7 ist eine obere Schranke der Menge M
Beweisschritt: Keine Zahl größer 5 ist untere Schranke der Menge M
Sei y>5 beliebig. Es ist damit {\tfrac {y-5}2}>0 und somit gibt es nach dem archimedischen Axiom ein N\in \mathbb{N} mit {\tfrac {y-5}2}>{\tfrac 1N}. Es ist
Sei im Folgenden f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} :x\mapsto {\tfrac {1}{1+x^{2}}}. Gehen wir nun schrittweise vor:
Schritt 1: Veranschauliche die Menge M.
Die Funktion f(x)={\tfrac {1}{1+x^{2}}} hat den Graphen:
Der Graph der Funktion f(x)=1/(1+x²) (Geek3: CC BY 3.0)
Die Menge M ist nun die Menge aller tatsächlich durch f getroffenen Werte, also das Bild der Funktion f.
Schritt 2: Stelle eine Hypothese an, welche Zahlen Supremum bzw. Infimum der Menge sind.
Wir können vermuten, dass 1 das Supremum von M ist. Weil f(0)={\tfrac {1}{1+0^{2}}}=1 ist, wird 1 auch durch die Funktion f getroffen. Damit liegt diese Zahl in M und müsste demnach Maximum dieser Menge sein.
Außerdem liegt die Vermutung nahe, dass 0 das Infimum von M ist. Die Funktion scheint immer positiv, also größer gleich null zu sein. Je größer bzw. je kleiner x, desto näher gehen die Funktionswerte gegen null (so sieht es zumindest auf den ersten Blick aus). Es sollte also insgesamt 0 Infimum der Menge M sein, wobei es nicht direkt in M liegt und somit kein Minimum sein sollte.
Schritt 3: Finde einen Beweis für das Supremum / Maximum.
Wir vermuten, dass 1 das Maximum der Menge M ist. Weil {\tfrac {1}{1+0^{2}}}=1 ist, können wir beweisen, dass 1\in M sein muss. Es fehlt jetzt nur noch der Beweis, dass 1 eine obere Schranke der Menge M ist. Hierzu müssen wir beweisen, dass für alle reellen Zahlen x wir folgende Ungleichung haben:
{\frac {1}{1+x^{2}}}\leq 1
Formen wir diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen um:
Wir wissen bereits, dass die letzte Ungleichung für alle x\in \mathbb{R} erfüllt ist. Da wir nur Äquivalenzumformungen verwendet haben, können wir aus dieser später die Ungleichung {\frac {1}{1+x^{2}}}\leq 1 wieder herleiten.
Schritt 4: Finde einen Beweis für das Infimum / Minimum.
Hier müssen wir zunächst zeigen, dass alle Elemente aus M größer gleich null sind. Jedoch ist {\tfrac {1}{1+x^{2}}} der Quotient von zwei positiven Zahlen, welches damit wieder positiv ist. Alle Elemente aus M sind somit positiv und damit insbesondere größer gleich 0.
Fehlt noch der Beweis, dass 0 auch die größte untere Schranke von M ist. Sei hierzu y>0 beliebig. Wir müssen nun ein Element aus M finden, welches kleiner als y ist. Es muss also ein x\in \mathbb{R} geben, so dass
{\frac {1}{1+x^{2}}}<y
ist. Formen wir diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen um:
Um die Wurzel ziehen zu können, muss {\tfrac {1-y}{y}}\geq 0 also y\leq 1 sein. Für die weitere Beweisfindung ist es aber kein Problem 0<y\leq 1 anzunehmen, denn für y>1 ist die letzte Ungleichung immer erfüllt. Die Quadratzahl x^{2} ist dann nämlich immer größer als die negative Zahl {\tfrac {1-y}{y}}.
Beweisschritt: Keine Zahl größer 0 ist untere Schranke der Menge M
Sei y>0 beliebig. Für y>1 ist
{\frac {1-y}{y}}<x^{2}
für jedes reelle x, weil 1-y dann negativ ist. Für 0<y\leq 1 wähle x so, dass |x|>{\sqrt {{\tfrac {1-y}{y}}}} ist. Dann ist nämlich auch obige Ungleichung erfüllt.
Für jedes y>0 gibt es also mindestens eine reelle Zahl x mit x^{2}>{\tfrac {1-y}{y}}. Für diese reelle Zahlen haben wir
