In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium , welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}, bei der (a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }} keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} muss zwangsweise \lim _{{k\to \infty }}a_{k}=0 sein.

Trivialkriterium

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Das Trivialkriterium lautet:
Satz: Trivialkriterium
Wenn eine Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} konvergiert, dann ist (a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} divergieren muss, falls (a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }} divergiert oder \lim _{{k\to \infty }}a_{k}\neq 0 ist.
Beispiel: Trivialkriterium
Beispiel
Die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k} divergiert, weil die Folge \left((-1)^{k}\right)_{{k\in \mathbb{N} }} divergent ist (sie besitzt mit 1 und -1 mehr als einen Häufungspunkt und kann deshalb nicht konvergieren).
Auch die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\sqrt[ {k}]{4}} divergiert, weil \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{4}}=1\neq 0 ist.
Warnung:
Dass (a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges , aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.
Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass \lim _{{k\to \infty }}a_{k}=0 kann nicht gefolgert werden, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} konvergiert. Beispielsweise ist die harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k} divergent, auch wenn \lim _{{k\to \infty }}{\tfrac 1k}=0 ist.

Beweis über Teleskopsumme

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Beweis: Trivialkriterium über Teleskopsumme
Beweis
Wir nehmen an, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine konvergente Reihe ist. Nun wollen wir zeigen, dass (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge ist.
Die Koeffizientenfolge (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} lässt sich als Differenz der beiden Partialsummen S_{n}=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k} und S_{{n-1}}=\sum _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k} schreiben:
{\begin{aligned}a_{n}&=a_{n}+0\\&=a_{n}+a_{{n-1}}+a_{{n-2}}+\ldots +a_{2}+a_{1}-a_{{n-1}}-a_{{n-2}}-\ldots -a_{2}-a_{1}\\&={\color {Teal}(a_{n}+a_{{n-1}}+a_{{n-2}}+\ldots +a_{2}+a_{1})}-{\color {Indigo}(a_{{n-1}}+a_{{n-2}}+\ldots +a_{2}+a_{1})}\\&={\color {Teal}\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}}-{\color {Indigo}\sum _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}}=S_{n}-S_{{n-1}}\end{aligned}}
Nun gilt, dass die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} gegen einen Grenzwert s\in \mathbb{R} konvergiert. Also ist
\lim _{{n\to \infty }}S_{n}=\lim _{{n\to \infty }}\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}=s
Ebenso gilt \lim _{{n\to \infty }}S_{{n-1}}=s, da sich der Grenzwert bei Verschiebung der Folgenglieder nicht ändert. Zusammen erhalten wir nun:
{\begin{aligned}&\lim _{{n\to \infty }}a_{n}\\[0.3em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a_{n}=S_{n}-S_{{n-1}}{\text{ (siehe oben)}}\right.}\\[0.3em]=&\lim _{{n\to \infty }}(S_{n}-S_{{n-1}})\\[0.3em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{{n\to \infty }}(a_{n}-b_{n})=\lim _{{n\to \infty }}a_{n}-\lim _{{n\to \infty }}b_{n}\right.}\\[0.3em]=&\lim _{{n\to \infty }}S_{n}-\lim _{{n\to \infty }}S_{{n-1}}=s-s=0\end{aligned}}
Also ist (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge.

Beweis über Cauchy-Kriterium

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Beweis: Trivialkriterium über Cauchy-Kriterium
Beweis
Du kannst den Beweis des Trivialkriteriums auch mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums führen. Dieses besagt, dass jede konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} das Cauchy-Kriterium für Reihen erfüllt:
\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb{N} \,\forall n\geq m\geq N:\left|\sum _{{k=m}}^{n}a_{k}\right|<\epsilon
Betrachten wir nicht alle n\geq m, sondern nur den Fall m=n:
{\begin{aligned}&\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb{N} \,\forall n=m\geq N:\left|\sum _{{k=m}}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \\&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ n=m\right.}\\\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb{N} \,\forall n\geq N:\left|\sum _{{k=n}}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \\&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{{k=n}}^{n}a_{k}=a_{n}\right.}\\[0.5em]\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb{N} \,\forall n\geq N:\left|a_{n}\right|<\epsilon \\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ |a_{n}|=|a_{n}-0|\right.}\\[0.5em]\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb{N} \,\forall n\geq N:\left|a_{n}-0\right|<\epsilon \end{aligned}}
Die letzte Aussageform ist genau die \epsilon -Definition dafür, dass (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge ist. Damit haben wir bewiesen, dass \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0 ist.

Beispielaufgabe

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Übung:
Beweise, dass \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{n+1}} divergiert.
Es ist
{\begin{aligned}\lim _{{n\to \infty }}{\frac {n}{n+1}}&=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{1+{\frac 1n}}}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {\lim _{{n\to \infty }}1}{\lim _{{n\to \infty }}1+\lim _{{n\to \infty }}{\frac 1n}}}={\frac {1}{1+0}}=1\end{aligned}}
Dies zeigt, dass die Folge a_{n}={\tfrac {n}{n+1}} keine Nullfolge ist. Damit divergiert die Reihe \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{n+1}} nach dem Trivialkriterium.

Ausblick: Verschärfung des Trivialkriteriums

Unter der Zusatzvoraussetzung, dass (a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} monoton fallend ist, gilt sogar dass (na_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge ist. Siehe hierzu die entsprechende error: internal links not implemented, yet! .