In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen es erlaubt ist, Reihen umzuordnen, ohne dass sich deren Konvergenzverhalten beziehungsweise deren Grenzwert ändert. Reihen, bei denen dies möglich ist, werden unbedingt konvergent genannt. Dabei werden wir uns schrittweise, beginnend bei endlichen Summen vorarbeiten. Wir untersuchen zunächst immer konkrete Beispiele, um unsere Überlegungen möglichst verständlich zu machen. Wie im Kapitel zuvor bereits erwähnt, spielt letztendlich die error: internal links not implemented, yet! die entscheidende Rolle.

Bei endlichen Summen ist es kein Problem, die Summanden umzuordnen. Der Grund hierfür ist, dass sich das „Kommutativgesetz der Addition“ beliebig oft hintereinander anwenden lässt. Betrachten wir als konkretes Beispiel die Summe

Ordnen wir die Summe nun so um, dass auf ein positives immer zwei negative Summenglieder folgen, ergibt sich

Etwas formaler können wir dies folgendermaßen formulieren: Ist \sigma :\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to \{1,2,3,4,5,6,7,8\} die Bijektion mit

so gilt

Damit können wir für n\in \mathbb{N} auf beliebige Summen \sum _{{k=1}}^{n}a_{k} und beliebige Bijektionen \sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\} ein verallgemeinertes Kommutativgesetz formulieren:

Bevor wir uns der Problematik bei Reihen zuwenden, wollen wir den Begriff der Umordnung einer Reihe zunächst sauber definieren:

Es wäre natürlich gut, wenn wir das verallgemeinerte Kommutativgesetz von oben auf unendliche Reihen verallgemeinern könnten. Betrachten wir als Beispiel die alternierende harmonische Reihe

Im Kapitel zum error: internal links not implemented, yet! werden wir zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Mit weiteren Hilfsmitteln kann man sogar zeigen, dass sie gegen S=\ln(2) konvergiert.

Konvergiert jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert? Wir wählen dieselbe Umordnung wie oben: Auf jeden positiven Summanden der Reihe lassen wir zwei negative folgen:

Im Kapitel zu den error: internal links not implemented, yet! hatten wir gezeigt, dass sich das Konvergenzverhalten und der Grenzwert einer konvergenten Reihe nicht ändern, wenn wir Klammern setzen. Daher konvergiert die Reihe, in der wir immer drei Summanden durch Klammern zusammenfassen, gegen denselben Grenzwert:

Diese lässt sich wie folgt umformen:

Wir sehen also, dass die umgeordnete Reihe nicht gegen S, sondern gegen {\tfrac 12}S konvergiert.

Formal ganz sauber können wir dies wie folgt beweisen:

Sei (S_{N})_{{N\in \mathbb{N} }} die Folge der Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe und (T_{N})_{{N\in \mathbb{N} }} die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe. Dann gilt zwischen T_{{3n}} und S_{{2n}}, mit derselben Umformung wie oben, die Beziehung

Da (S_{N}) gegen S konvergiert, konvergiert auch die Teilfolge (S_{{2n}}) gegen S. Mit den Rechenregeln für konvergente Reihen folgt daher

Daraus folgt nicht unmittelbar, dass die umgeordnete Reihe (T_{N}) gegen {\tfrac 12}S konvergiert. Allerdings können wir zu jedem \epsilon >0 ein N_{1}\in \mathbb{N} finden, sodass

Bezeichnen wir weiter die Glieder der umgeordneten Reihe mit t_{k}, d. h. T_{N}=\sum _{{k=1}}^{N}t_{k}. Außerdem ist (t_{k})_{{k\in \mathbb{N} }} eine Nullfolge. Daher existiert zu jedem \epsilon >0 ein N_{2}\in \mathbb{N} mit

Setzen wir nun {\tilde {N}}=\max\{N_{1},N_{2}\}, so gilt für alle N\geq 3{\tilde {N}}+2:

denn ist

Leider kommt es noch „schlimmer“! Wir betrachten folgendes Beispiel:

Betrachte die folgende Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe:

Für alle n\in \mathbb{N} gilt

Damit können wir die Partialsumme der umgeordneten Reihe bis zum Summanden {\color {red}-{\tfrac {1}{2n+2}}} abschätzen. Der wievielte Summand ist dies? Lassen wir die ersten beiden Summanden weg, so haben wir {1+2+4+\ldots +2^{{n-1}}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}2^{k}}{\underset {{\text{Summenf.}}}{{\overset {{\text{geom.}}}{=}}}}{\color {blue}2^{n}-1} positive Glieder. Außerdem haben wir {\color {red}n} negative Glieder. Also müssen wir bis zum Glied 2^{{n-1}}+n+1 aufsummieren. Für die Partialsumme (T_{{2^{{n-1}}+n+1}})_{{n\in \mathbb{N} }} gilt daher

Beachte also

Bei den Beispielen von oben bestand bei den Umordnungen das Problem, dass die Reihe alternierend war. Daher konnten bei den Umordnungen so viele positive Summanden hintereinander „gepackt“ werden, dass die umgeordnete Reihe gegen einen anderen Grenzwert konvergiert bzw. sogar divergiert. Dieses Problem sollte bei Reihen mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Gliedern nicht auftreten.

Betrachten wir die konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}. Wir wählen dieselbe Umordnung, bei der die alternierende harmonischen Reihe divergiert ist. Die umgeordnete Reihe lautet

Die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}} konvergiert, da die Folge der Partialsummen (S_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}=\left(\sum _{{k=1}}^{n}{\tfrac {1}{k^{2}}}\right)_{{n\in \mathbb{N} }}beschränkt ist. Das zeigen wir im Kapitel error: internal links not implemented, yet! . Es gibt also ein K>0, sodass S_{n}\leq K für alle n\in \mathbb{N} ist. Wenn wir daraus die Beschränktheit der Partialsummenfolge (T_{m})_{{m\in \mathbb{N} }}=\left(\sum _{{k=1}}^{m}a_{{\sigma (k)}}\right)_{{m\in \mathbb{N} }} der umgeordneten Reihe folgern könnten, dann würde auch diese konvergieren. Wenn wir also zeigen, dass es zu jedem m\in \mathbb{N} ein n\in \mathbb{N} gibt, sodass T_{m}\leq S_{n} ist, dann folgt auch T_{M}\leq K für alle m\in \mathbb{N} . Dann konvergiert auch die umgeordnete Reihe.

Nun gilt \{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (m)\}\subset \mathbb{N} . Also hat die Menge ein Maximum. Setzen wir n=\max\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (m)\}, so gilt T_{m}\leq S_{n} für alle m\in \mathbb{N} . Ist in unserem Beispiel etwa m=11, also T_{{11}}={\color {OliveGreen}1}{\color {red}+{\frac {1}{2^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{4^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{6^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{9^{2}}}+{\frac {1}{11^{2}}}+{\frac {1}{13^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}}, so ist \{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (11)\}=\{1,2,\ldots ,15\}. D. h. in diesem Fall ist n=15, und damit T_{{11}}\leq S_{{15}}.

Allgemein ist mit (S_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} auch (T_{m})_{{m\in \mathbb{N} }} nach oben durch K beschränkt, und die umgeordnete Reihe konvergiert.

Als Nächstes fragen wir uns, ob die Umordnung gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu überlegen wir uns zunächst, dass die ursprüngliche Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} ebenfalls eine Umordnung der umgeordneten Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}} ist. Mit \sigma ist nämlich auch \mu =\sigma ^{{-1}} eine Bijektion von \mathbb{N} nach \mathbb{N} . Daraus folgt \sum _{{k=1}}^{n}a_{k}=\sum _{{k=1}}^{n}a_{{\sigma ^{{-1}}(\sigma (k))}}=\sum _{{k=1}}^{n}a_{{\mu (\sigma (k))}}. Mit derselben Argumentation wie oben gibt es zu jedem n\in \mathbb{N} ein m'\in \mathbb{N} mit S_{n}\leq T_{{n'}}. Ist S der Grenzwert der ursprünglichen Reihe und S' der Grenzwert der umgeordneten Reihe, folgt S'\leq S\leq S'. Also sind die beiden Grenzwerte identisch.

Damit definieren wir

Den Umordnungssatz von oben können wir damit auch so formulieren:

Die Frage ist nun, ob wir die Voraussetzungen für unseren Umordnungssatz noch verallgemeinern können. D. h. gibt es auch konvergente Reihen mit negativen Gliedern (beispielsweise alternierende), die beliebig umgeordnet werden können und dabei immer gegen denselben Grenzwert konvergieren? Die Antwort ist ja! Betrachten wir hierzu das Beispiel der alternierenden Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{{k+1}}}{k^{2}}}. Die entscheidende Eigenschaft dieser Reihe ist, dass sie absolut konvergiert, da \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}} konvergiert. Nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern aus dem vorherigen Abschnitt konvergiert damit auch jede Umordnung \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {1}{\sigma (k)^{2}}} gegen denselben Grenzwert. Da error: internal links not implemented, yet! , konvergiert auch jede Umordnung der ursprünglichen Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{{\sigma (k+1)}}}{\sigma (k)^{2}}}.

Wir müssen nun nur noch zeigen, dass jede dieser Umordnungen gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu benutzen wir das error: internal links not implemented, yet! . Dieses besagt, dass eine Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} genau dann absolut konvergiert, wenn die Reihen ihrer nichtnegativen Glieder \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}^{+} und ihrer nichtpositiven Glieder \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}^{-} konvergieren. Da jede Umordnung \sum _{{k=1}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{{\sigma (k+1)}}}{\sigma (k)^{2}}}=\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}} absolut konvergiert, konvergieren auch die Reihen \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}}^{+} und \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}}^{-}. Weiter gilt

und

Damit folgt aber nun

Also konvergiert die umgeordnete Reihe tatsächlich gegen denselben Grenzwert.

Wie in unserem Beispiel können wir nun allgemein zeigen:

Nun bleibt lediglich noch die Frage offen, ob umgekehrt eine unbedingt konvergente Reihe, d. h. eine Reihe, von der jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert, auch absolut konvergent ist. Wir überlegen uns dazu die Kontraposition dieser Aussage:

Zunächst stellen wir fest:

Diesen Satz wollen wir nun verwenden, um zu zeigen, dass es zu jeder konvergenten, jedoch nicht absolut konvergenten Reihe eine Umordnung dieser Reihe gibt, die divergiert. Dies wollen wir zunächst an unserem „Lieblingsbeispiel“, der alternierenden harmonischen Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{k+1}}}{k}} demonstrieren. Wir konstruieren eine Umordnung \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}}, die gegen \infty divergiert. Dazu summieren wir solange positive Summanden auf, bis wir n=1 überschreiten. Danach summieren wir einen der negativen Summanden, und anschließend wieder genügend positive Summanden, um n=2 zu überschreiten. Dieses Spiel setzen wir nun beliebig fort, und erhalten so eine Umordnung, die gegen \infty divergiert. Auf Grund des obigen Satzes ist es auch möglich, die Umordnung beliebig „groß“ zu machen, da wir ja wissen, dass die Reihe der positiven Glieder \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}} (gegen unendlich) divergiert. Konkret lautet unsere Umordnung wie folgt:

Auf diese Weise erhalten wir zu jedem n\in \mathbb{N} ein m\in \mathbb{N} mit \sum _{{k=1}}^{m}a_{{\sigma (k)}}\geq n. Die umgeordnete Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}} divergiert daher (gegen unendlich).

Dieses Konzept können wir allgemein auf bedingt divergente Reihen übertragen:

Nehmen wir die beiden vorangegangenen Sätze zusammen erhalten wie die allgemeinste Form des Umordnungssatzes:

Zum Abschluss des Kapitels zeigen wir noch, dass man eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so umordnen kann, dass sie gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert. Als Beispiel ordnen wir unser Lieblingsbeispiel, die alternierende harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{k+1}}}{k}} so um, dass sie gegen 42 konvergiert.

Wie schon im Beispiel oben benutzen wir, dass die Reihe der positiven Glieder \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}} (gegen unendlich) divergiert.

Wir starten und wählen zunächst das kleinst mögliche m_{1}\in {\mathbb N} so, dass \sum _{{k=1}}^{{m_{1}}}a_{k}^{+}=\sum _{{k=1}}^{{m_{1}}}{\frac {1}{2k-1}}\geq 42 ist. Für unsere Umordnung \sigma bedeutet dies \sigma (k)=2k-1 für 1\leq k\leq m_{1}. Dann ist \sum _{{k=1}}^{{m_{1}}}a_{{\sigma (k)}}\geq 42.

Nun setzen wir \sigma (m_{1}+1)=2, d.h. a_{{\sigma (m_{1}+1)}}=a_{2}=a_{1}^{-}=-{\frac 12}, der erste negative Summand der Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{k+1}}}{k}}. Dann gilt \sum _{{k=1}}^{{m_{1}+1}}a_{{\sigma (k)}}=\sum _{{k=1}}^{{m_{1}}}a_{{\sigma (k)}}-{\frac 12}<42.

Anschließend wählen wir nun das kleinste m_{2}\in \mathbb{N} mit m_{2}>m_{1}, so dass wieder gilt \sum _{{k=1}}^{{m_{1}+1}}a_{{\sigma (k)}}+\sum _{{k=m_{1}+1}}^{{m_{2}}}a_{k}^{+}\geq 42. Setzen wir \sigma (k)=2(k-1)+1=2k für m_{1}+1\leq k\leq m_{2}, so ist \sum _{{k=1}}^{{m_{2}}}a_{{\sigma (k)}}\geq 42.

Nun setzen wir den zweiten negativen Summanden -{\frac 14}=a_{{\sigma (m_{2}+1)}}. Damit gilt erneut \sum _{{k=1}}^{{m_{2}+1}}a_{{\sigma (k)}}<42.

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{{\sigma (k)}} der alternierenden harmonischen Reihe mit

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen 42, denn es gilt für n\in \mathbb{N} :

Für n\to \infty gilt m_{n}\to \infty und daher folgt mit dem error: internal links not implemented, yet! :

Weitere Übungen zur Umordnung von Reihen befinden sich im Kapitel error: internal links not implemented, yet! zu Reihen.