Kommen wir nun zum Wurzelkriterium, welches ein mächtiges Kriterium ist, um Konvergenz oder Divergenz einer konkret gegebenen Reihe nachzuweisen. Es basiert auf dem Majorantenkriterium, wobei hier die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k} mit 0\leq q<1 zurückgeführt wird.

Das Wurzelkriterium wurde zuerst 1821 vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy in seinem Lehrbuch „Cours d'analyse“ veröffentlicht^{Siehe die Antwort auf die Frage „Where is the root test first proved“
der Q&A Webseite „History of Science and Mathematics“}. Deswegen wird es auch „Wurzelkriterium von Cauchy“ genannt.

Herleitung

Wiederholung

Wir haben bereits das error: internal links not implemented, yet! kennengelernt. Es besagt, dass eine Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} absolut konvergiert, wenn es eine konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k} mit |a_{k}|\leq c_{k} gibt.

Außerdem wissen wir, dass jede geometrische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k} mit q\in [0,1) konvergiert.

Erste Herleitung

Sei \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine Reihe, deren Konvergenz wir mit Hilfe des Majorantenkriteriums nachweisen wollen, indem wir die Konvergenz der Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe zurückführen. Um das Majorantenkriterium so anwenden zu können, muss es ein q\in [0,1) mit |a_{k}|\leq q^{k} geben. Dann ist

{\begin{aligned}\sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}|&\leq \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}-q^{0}\\[0.3em]&={\frac {1}{1-q}}-1={\frac {q}{1-q}}<\infty \end{aligned}}

Die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} konvergiert nach dem Majorantenkriterium absolut. Die Ungleichung |a_{k}|\leq q^{k} können wir umformen:

|a_{k}|\leq q^{k}\iff {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q

Wenn es also ein q mit 0\leq q<1 gibt, so dass {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q ist, dann ist |a_{k}|\leq q^{k} und die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} konvergiert.

Verständnisfrage: Wir beginnen die geometrische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }q^{k} bei k=1 und nicht wie normalerweise bei k=0. Warum ist das in der obigen Herleitung sinnvoll?

Im Schritt |a_{k}|\leq q^{k}\iff {\sqrt[ {k}]{a_{k}}}\leq q haben wir die k-te Wurzel gezogen und die 0-te Wurzel ist nicht definiert. Deswegen muss k bei 1 beginnen.

Umformulierung mit Limes Superior

Für das Konvergenzverhalten ist der Wert von endlich vielen Summanden egal. Dementsprechend muss auch nicht {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für alle k\in \mathbb{N} gelten, sondern nur für alle k\in \mathbb{N} bis auf endlich viele Ausnahmen. Es muss also nur für fast alle k\in \mathbb{N} die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q erfüllt sein.

Die Forderung, dass es ein q\in [0,1) mit {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für fast alle k\in \mathbb{N} gibt, können wir auch mit dem Limes Superior formulieren:

\exists {\tilde {q}}\in [0,1):\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq {\tilde {q}}

Anders ausgedrückt:

\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1

Ist {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für fast alle k, dann ist die Folge \left({\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\right)_{{k\in \mathbb{N} }} nach oben beschränkt und muss einen größten Häufungspunkt kleiner gleich q besitzen. Dieser Häufungspunkt ist gleich \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}} und es gilt \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q.

Sei umgekehrt \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für ein q\in [0,1). Dann ist für alle \epsilon >0 die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q+\epsilon für fast alle k\in \mathbb{N} erfüllt. Wegen q<1 gibt es ein \epsilon >0, das klein genug ist, damit auch q+\epsilon <1 ist. Setzen wir {\tilde q}=q+\epsilon . Es ist {\tilde q}<1 und die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq {\tilde q} ist für fast alle k erfüllt.

Anstelle von {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für fast alle k\in \mathbb{N} reicht auch \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen. Wir können also zusammenfassen:

Ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1, dann konvergiert die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} absolut.

Wurzelkriterium für Divergenz

Wir haben bisher nur das Wurzelkriterium für die Konvergenz einer Reihe kennengelernt. Gibt es auch ein Wurzelkriterium für die Divergenz einer Reihe? Stellen wir uns vor, dass \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1 ist. Dann ist für unendlich viele k\in \mathbb{N} die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 erfüllt. Für diese k gilt |a_{k}|\geq 1^{k}=1, womit \left(|a_{k}|\right)_{{k\in \mathbb{N} }} keine Nullfolge ist. Damit kann aber auch \left(a_{k}\right)_{{k\in \mathbb{N} }} keine Nullfolge sein. Aus dem error: internal links not implemented, yet! folgt dann, dass \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} divergiert. Wir können diesen Fall verallgemeinern, indem wir anstelle von \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1 die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 für fast alle k\in \mathbb{N} fordern.

Definition

Das Wurzelkriterium lautet:

Satz: Wurzelkriterium

Sei \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine Reihe. Wenn \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1 ist, dann konvergiert die Reihe absolut. Ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1, dann divergiert die Reihe. Auch wenn {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 für unendlich viele k\in \mathbb{N} ist, divergiert die Reihe.

ErklärungDen Satz haben wir in der obigen Herleitung bereits bewiesen. Wir fassen den Beweis noch einmal kurz zusammen:

Beweis

Beweisschritt: Aus \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1 folgt die absolute Konvergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.

Sei \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} eine Reihe. Ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1, dann ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q für ein 0\leq q<1 (man kann zum Beispiel q=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}} wählen).

Wähle nun \epsilon >0 so klein, dass q+\epsilon <1 ist. Aus der Definition des Limes Superior folgt, dass für fast alle k\in \mathbb{N} die Ungleichung {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\leq q+\epsilon erfüllt ist. Daraus folgt |a_{k}|\leq (q+\epsilon )^{k} für fast alle k. Weil die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }(q+\epsilon )^{k} konvergiert (dies ist eine geometrische Reihe mit q+\epsilon <1), konvergiert die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }|a_{k}| nach dem Majorantenkriterium. Also konvergiert die Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} absolut.

Beweisschritt: Aus \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1 oder {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 für unendlich viele k folgt die Divergenz von \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.

Sei \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1 bzw. {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 für unendlich viele k. Dann ist |a_{k}|\geq 1^{k}=1 für unendlich viele k. Deshalb kann \left(|a_{k}|\right)_{{k\in \mathbb{N} }} keine Nullfolge sein. Damit kann aber auch \left(a_{k}\right)_{{k\in \mathbb{N} }} keine Nullfolge sein. Also divergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} nach dem Trivialkriterium.

Hinweis:

Konvergiert \left({\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\right)_{{k\in \mathbb{N} }}, dann ist \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}. Man kann also auch \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}} betrachten, wenn dieser Limes existiert. Dies wird in den meisten Konvergenzbeweisen mit dem Wurzelkriterium auch getan.

Grenzen des Wurzelkriteriums

Im Fall \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}=1 können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe sagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Gleichung erfüllen. Ein Beispiel ist die divergente harmonische Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1k}. Es ist

{\begin{aligned}\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}&=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left|{\frac 1k}\right|}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{{\frac 1k}}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {1}{{\sqrt[ {k}]{k}}}}\\[0.5em]&\,{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{k}}=1\right.}\\[0.5em]&={\frac 11}=1\end{aligned}}

Aber auch die konvergente Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac 1{k^{2}}} erfüllt diese Gleichung:

{\begin{aligned}\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}&=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left|{\frac 1{k^{2}}}\right|}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{{\frac 1{k^{2}}}}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {1}{{\sqrt[ {k}]{k^{2}}}}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{{\sqrt[ {k}]{k}}}}\right)^{2}\\[0.5em]&\,{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{k}}=1\right.}\\[0.5em]&=\left({\frac {1}{1}}\right)^{2}=1\end{aligned}}

Dies zeigt, dass wir aus \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}=1 weder zeigen können, dass die Reihe konvergiert, noch dass sie divergiert. Wir müssen also in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden!

Vorgehen bei der Anwendung des Wurzelkriteriums

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Um das Wurzelkriterium auf eine Reihe \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} anzuwenden, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir bilden {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}} und betrachten dessen Limes (bei Existenz des Limes) bzw. dessen Limes Superior.

Ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}<1, dann konvergiert die Reihe absolut.
Ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}>1, dann divergiert die Reihe.
Ist {\sqrt[ {k}]{|a_{k}|}}\geq 1 für unendlich viele k, dann divergiert die Reihe.
Trifft keiner der drei Fälle zu, können wir nichts zum Konvergenzverhalten der Reihe aussagen.

Beispielaufgaben

Beispielaufgabe 1

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Übung:

Konvergiert oder divergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {k^{3}}{3^{k}}}?

Berechnen wir den Grenzwert von {\sqrt[ {k}]{\left|{\tfrac {k^{3}}{3^{k}}}\right|}}:

{\begin{aligned}\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left|{\frac {k^{3}}{3^{k}}}\right|}}&=\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{{\frac {k^{3}}{3^{k}}}}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {{\sqrt[ {k}]{k^{3}}}}{{\sqrt[ {k}]{3^{k}}}}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {{\sqrt[ {k}]{k}}^{3}}{3}}\\[0.5em]&\,{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{k}}=1\right.}\\[0.5em]&={\frac {1^{3}}{3}}={\frac 13}<1\end{aligned}}

Damit ist \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left|{\tfrac {k^{3}}{3^{k}}}\right|}}<1, womit die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergiert.

Beispielaufgabe 2

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Übung:

Konvergiert oder divergiert \sum _{{k=1}}^{\infty }\left({\frac {4k+5}{2k+3}}\right)^{k}?

Es ist

{\begin{aligned}\limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left({\frac {4k+5}{2k+3}}\right)^{k}}}&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {4k+5}{2k+3}}\\[0.5em]&=\limsup _{{k\to \infty }}{\frac {4+{\frac 5k}}{2+{\frac 3k}}}\\[0.5em]&={\frac 42}=2>1\end{aligned}}

Wegen \limsup _{{k\to \infty }}{\sqrt[ {k}]{\left({\frac {4k+5}{2k+3}}\right)^{k}}}>1 divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.