Der Zwischenwertsatz besagt, dass jede stetige Funktion f:[a,b]\to \mathbb{R} alle Werte zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt. Stetige Funktionen nehmen also alle Zwischenwerte zwischen f(a) und f(b) an (wenn es zwischen a und b keine Lücken im Definitionsbereich gibt). Der Zwischenwertsatz kann somit genutzt werden, um die Existenz von Funktionswerten zu beweisen.

Sei f:[a,b]\to \mathbb{R} eine beliebige stetige Funktion. An der Stelle a besitzt sie den Funktionswert f(a) und an der Stelle b den Funktionswert f(b). Nehmen wir an, dass f(a)\leq f(b) ist. Sei außerdem s ein beliebiger Wert zwischen f(a) und f(b), also f(a)\leq s\leq f(b):

Nach unserer Vorstellung besitzen stetige Funktionen innerhalb des Definitionsbereichs keine Sprünge. Da f auf dem gesamten Intervall [a,b] definiert ist und somit ihr Definitionsbereich zusammenhängend ist, verbindet der Graph die Punkte (a,f(a)) und (b,f(b)) ohne Sprünge. Wenn wir f(a) und f(b) ohne Absetzen des Stifts verbinden, müssen wir irgendwann die Gerade y=s kreuzen. Es gibt also mindestens einen Schnittpunkt zwischen der Geraden y=s und dem Graphen von f:

Für die x-Werte {\tilde x} der Schnittpunkte gilt f({\tilde x})=s. Der Zwischenwert s wird also mindestens einmal durch die Funktion f angenommen. Wir haben intuitiv gesehen, dass stetige Funktionen alle Werte zwischen zwei Funktionswerten mindestens einmal annehmen, wenn der Definitionsbereich keine Lücken zwischen den beiden Argumenten besitzt.

Für den Beweis des Zwischenwertsatzes reicht es aus, diesen nur für den Spezialfall s=0 zu beweisen. Dieser Spezialfall wird auch „Nullstellensatz von Bolzano” genannt:

Wieso reicht es, nur diesen Spezialfall zu betrachten? Nehmen wir eine stetige Funktion f:[a,b]\to \mathbb{R} und einen Wert s\in \mathbb{R} zwischen den Funktionswerten f(a) und f(b). Nach dem Zwischenwertsatz müssen wir nun ein {\tilde x}\in [a,b] mit f({\tilde x})=s finden. Nun gilt:

Damit ist genau dann f({\tilde x})=s, wenn f({\tilde x})-s=0 ist. Wir definieren nun die Hilfsfunktion h:[a,b]\to \mathbb{R} mit h(x)=f(x)-s. Wie wir gerade festgestellt haben, ist genau im Fall f({\tilde x})=s die Gleichung h({\tilde x})=0 erfüllt. Wenn wir also eine Nullstelle von h finden, dann nimmt auch die Funktion f den Wert s an.

Nun erfüllt die Funktion h alle Voraussetzungen des Nullstellensatz von Bolzano. Es ist eine Funktion der Form [a,b]\to \mathbb{R} mit dem abgeschlossenen Intervall [a,b] als Definitionsbereich. Als Verkettung stetiger Funktionen ist die Funktion h stetig. Im Fall f(a)\leq s\leq f(b) ist:

Damit folgt aus f(a)\leq s\leq f(b) die Ungleichungskette h(a)\leq 0\leq h(b). Betrachten wir nun den Fall f(a)\geq s\geq f(b):

Es folgt insgesamt, dass Null ein Zwischenwert von h(a) und h(b) ist. Somit erfüllt h die Voraussetzungen des Nullstellensatz von Bolzano. Nach diesem Nullstellensatz gibt es ein {\tilde x}\in [a,b] mit h({\tilde x})=0. Für dieses {\tilde x} ist dann f({\tilde x})=s. Dies zeigt, dass aus dem Nullstellensatz von Bolzano der allgemeinere Zwischenwertsatz folgt. Wir müssen also nur den Nullstellensatz von Bolzano beweisen.

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes können wir beweisen, dass stetige Funktionen Intervalle auf Intervalle abbilden:

In der folgenden Aufgabe beweisen wir einen Fixpunktsatz. Fixpunkte sind Argumente x einer Funktion f, die die Gleichung f(x)=x erfüllt. Fixpunkte werden also durch eine Funktion nicht verändert. Fixpunktsätze sind wiederum Sätze, die die Existenz von Fixpunkten in gewissen Situationen beweisen. Für die Mathematik sind solche Sätze wichtig, weil manchmal die Existenz eines Objekts auf die Existenz eines Fixpunktes zurückgeführt werden kann. Beispielsweise ist das Argument x genau dann Nullstelle einer Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} , wenn die Funktion g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit der Zuordnungsvorschrift g(x)=x-f(x) einen Fixpunkt besitzt. Aus der Existenz eines Fixpunkts der Funktion g, folgt die Existenz einer Nullstelle für f. In der folgenden Aufgabe werden wir einen Zwischenwertsatz beweisen:

Im obigen Fixpunktsatz ist die Stetigkeit eine notwendige Voraussetzung des bewiesenen Fixpunktsatzes. Wenn wir diese weglassen, finden wir eine Funktion g:[a,b]\to [a,b], für die der Fixpunktsatz nicht mehr gilt. Dies zeigt folgende Aufgabe:

Die folgende Aufgabe stellt einen Spezialfall des Fundamentalsatzes der Algebra dar. Dieser besagt, dass eine nicht-konstante Polynomfunktion

mit komplexen Koeffizienten a_{0},a_{1},\ldots ,a_{{n-1}},a_{n} mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Im Reellen stimmt diese Aussage im Allgemeinen nicht. Ein Polynom mit reellen Koeffizienten muss keine reelle Nullstelle haben. Eine Polynomfunktion ohne reelle Nullstellen ist zum Beispiel p(x)=x^{2}+1. Für gewisse Polynome können wir jedoch die Existenz einer Nullstelle beweisen:

Der Zwischenwertsatz bietet eine weitere Möglichkeit die Existenz von Wurzeln zu beweisen. Im Kapitel „error: internal links not implemented, yet! “ haben wir dies bereits mit Hilfe einer Intervallschachtellung bewiesen. Wir werden nun einen alternativen Beweis mit Hilfe des Zwischenwertsatzes kennen lernen. Zur Erinnerung: Die n-te Wurzel {\sqrt[ {n}]{\alpha }} für eine positive Zahl \alpha ist eine positive reelle Zahl x mit x^{n}=\alpha .

Der Zwischenwert- beziehungsweise Nullstellensatz kann verwendet werden, die Existenz einer Lösung für eine Gleichung zu begründen. Hier wird aus der Gleichung eine stetige Funktion gebildet, auf die der Zwischenwert- beziehungsweise der Nullstellensatz angewandt werden kann.